MVP transformation

（本文为三无产品。不含详细推导过程，不含示意图，~~不知所云~~。仅供围观）

model transformation

模型在世界坐标系下的表示
view/camera transformation

将相机调整到世界坐标系上，使得模型在相机坐标系下表示
projection transformation

设模型位于给定frustum/cube中，将其映射至的标准立方体中

viewport transformation

将标准立方体映射至显示屏幕上

1. Model Transformation (M)

from model to world transform:

2. View/Camera Transformation (V)

from world coordinate to camera

-- camera/eye position
-- gaze direction (look at)
-- view-up vector

其中和不一定垂直

世界坐标系：

设camera的base在世界坐标系的表示为：，最后归一化

表示为：

表示为：
$\begin{align} M_{view} &= \begin{pmatrix} R_{world \to cam}^{-1} & -\bf{e} \\ \bf{0} & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \bf{u}_x & \bf{u}_y & \bf{u}_z & -\bf{e}_x \\ \bf{v}_x & \bf{v}_y & \bf{v}_z & -\bf{e}_y \\ \bf{w}_x & \bf{w}_y & \bf{w}_z & -\bf{e}_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

3. Projection Transformation (P)

3.1 Orthographic Projection Transformation (正交投影变换)

from cube to canonical cube

define cube plane:

-- left plane
-- right plane
-- bottom plane
-- top plane
-- near plane
-- far plane

变换步骤：先平移至原点，再缩放
$M_{orth} = \begin{pmatrix} \cfrac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\cfrac{r+l}{r-l} \\ 0 & \cfrac{2}{t-b} & 0 & -\cfrac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \cfrac{2}{n-f} & -\cfrac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

3.2 Perspective Projection Transformation (透视投影变换)

from frustum to cube: 保持近平面不变，远平面形状压缩为近平面（z值不变）

define frustum plane distance:

-- near plane
-- far plane

以下公式基于虎书（此处假设）

而在一些图形API中，假设，此时：

最终透视投影变换可以表示为：

如果给定以下参数，define frustum para:

-- field of view (视场角，竖直方向)
-- 宽高比

so:

考虑frustum参数，并且认为frustum设置于camera朝向轴线上，可以表示为：
$M_{orth} = \begin{pmatrix} \cfrac{-n/|n|}{ratio \cdot \tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{-n/|n|}{\tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{2}{n-f} & -\cfrac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

so:
$M_{persp} = \begin{pmatrix} \cfrac{-n/|n|}{ratio \cdot \tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{-n/|n|}{\tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{n+f}{n-f} & -\cfrac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & n/|n| & 0 \\ \end{pmatrix}$

4. Viewport Transformation (视口变换)

from canonical cube to screen

define

scale: ，z方向不变

Ref

games101
Fundamentals of Computer Graphics, Fourth Edition, 4th Edition
计算机图形学二：视图变换(坐标系转化，正交投影，透视投影，视口变换)