树链剖分 个人总结
树链剖分 - OI Wiki
树链剖分用于将树分割成若干条链的形式，以维护树上路径的信息。具体来说，将整棵树剖分为若干条链，使它组合成线性结构，然后用其他的数据结构维护信息。
全是oiwiki的，不写咯
定义：
fa(x)：表示节点x在树上的父亲dep(x)：表示节点x在树上的深度siz(x)：表示节点x的子树的节点个数son(x)：表示节点x的重儿子top(x)：表示节点x所在重链的顶部节点（深度最小dfn(x)：表示节点x的DFS序，也是其在线段树中的编号rnk(x)：表示DFS序所对应的节点编号，有rnk(dfn(x)) = x
第一次DFS求出fa(x), dep(x), siz(x), son(x)，第二次DFS求出top(x), dfn(x), rnk(x)。
int fa[N], dep[N], siz[N], son[N], top[N], dfn[N], rnk[N];
第一次DFS
void dfs1(int u) {
son[u] = -1;
siz[u] = 1;
for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
if(p[i] == fa[u]) continue; // 不然死循环了
if(!dep[ p[i]]) {
dep[ p[i]] = dep[u] + 1;
fa[ p[i]] = u;
dfs1(p[i]);
siz[u] += siz[ p[i]];
if(son[u] == -1 || siz[ p[i]] > siz[ son[u]]) son[u] = p[i];
}
}
}
感觉这个p[i]这个看着感觉不好看懂，我改了改变量（
// 找出 fa dep siz son
void dfs1(int u) {
// if(dep[u])
son[u] = -1; // 重儿子设置为-1
siz[u] = 1; // 当前u节点大小为1（它本身
for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int y = e[i];
if(y == fa[u]) continue; // **
if(!dep[ y]) { // 如果深度没有，则可以接着往下遍历
dep[ y] = dep[u] + 1; // 求出深度
fa[ y] = u; // 为y设置父亲节点
dfs1(y); // 递归 y
siz[u] += siz[ y]; // 当前节点u增加子节点个数
if(son[u] == -1 || siz[ y] > siz[ son[u]]) son[u] = y; // 更新重儿子
}
}
}
第二次DFS
void dfs2(int u, int t) {
top[u] = t;
cnt++;
dfn[u] = cnt;
rnk[cnt] = u;
if(son[u] == -1) return ;
dfs2(son[u], t);
for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
if(p[i] != son[u] && p[i] != fa[u]) dfs2(p[i], p[i]);
}
}
// 求出 top dfn rnk
void dfs2(int u, int t) {
top[u] = t; // 设置节点u的顶部节点为t
cnt++;
dfn[u] = cnt; // 在线段树中的编号
rnk[cnt] = u; // DFS序对应的节点编号
if(son[u] == -1) return ; // 如果son[u] = -1，表示是叶子节点
dfs2(son[u], t); // 优先对重儿子进行DFS，保证同一条重链上的点DFS序连续
for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int y = e[i];
// 当不是u的重儿子，也不是u的父亲节点
// 那就是新的重链
if(y != son[u] && y != fa[u]) dfs2(y, y);
}
}
重链剖分性质
树上每个节点都属于且仅属于一条重链。
重链开头的结点不一定是重子节点（因为重边是对于每一个结点都有定义的）。
在剖分时 重边优先遍历，最后树的 DFS 序上，重链内的 DFS 序是连续的。按 DFN 排序后的序列即为剖分后的链。
一颗子树内的 DFS 序是连续的。
可以发现，当我们向下经过一条 轻边 时，所在子树的大小至少会除以二。
应用
求最近公共祖先
不断向上跳重链，当跳到同一条重链上时，深度较小的结点即为 LCA。
向上跳重链时需要先跳所在重链顶端深度较大的那个。
int lca(int u, int v) {
while(top[u] != top[v]) {
if(dep[ top[u]] > dep[ top[v]]) {
u = fa[ top[u]];
} else {
v = fa[ top[v]];
}
}
return dep[u] > dep[v] ? v : u;
}
// AC代码
#include
for(int i = 0; i < m; ++i) {
int u,v; cin>>u>>v;
cout<<lca(u,v)<<endl;
}
}
int main()
{
#ifdef Multiple_groups_of_examples
int T; cin>>T;
while(T--)
#endif
solve();
return 0;
}
void inpfile() {
#define mytest
#ifdef mytest
freopen("ANSWER.txt", "w",stdout);
#endif
}
路径上维护
直接看代码吧，我是根据洛谷题解和oiwiki进行总结的。
#include 树链剖分详解（洛谷模板 P3384） - ChinHhh - 博客园 (cnblogs.com)