题解 | #1004.Do You Like Interactive Problems?# 2023杭电暑期多校10

1004.Do You Like Interactive Problems?

概率论-数学期望

题目大意

给定一个正整数 $n$ ，在 $1$ ~ $n$ 范围内有一个正整数 $x$
进行若干轮猜测，每次猜测在 $1$ ~ $n$ 范围内等概率随机选择一个正整数 $y$ ，可以得到如下信息中的一个： $y>x,y=x,y<x$
每次猜测后，下一次猜测仍在原范围内随机选择。当得到的信息能够唯一确定 $x$ 时，游戏结束
求猜测轮数的数学期望

解题思路

ACMer三大美德：暴力、打表、猜结论//赛时打表猜结论过了//

由题意可知，当且仅当出现以下情况时，可以唯一确定 $x$ ：

1. 选到 $x$
2. $x$ 的相邻元素都被选到

每次选择后，下一次选择的范围是不变的，因此其他元素的信息对唯一确定 $x$ 是没有作用的

对于给定 $n$ ，根据以下情况展开讨论：

1. 不论 $x$ 的位置，直接选到 $x$ ，轮数为 $1$ ，概率为 $\frac{1}{n}$
2. 已经选到一个相邻点（或 $x$ 在两端），轮数期望记为 $E_2$
   1. 选另一相邻点（或唯一相邻点），轮数为 $1$ ，概率为 $\frac{1}{n}$
   2. 选其他点没有贡献，概率为 $\frac{n-2}{n}$
3. $x$ 在中间，没有选到过相邻点，轮数期望记为 $E_3$
   1. 选到两个相邻点之一，转移到情况 $2$ ，概率为 $\frac{2}{n}$
   2. 选到其他点没有贡献，概率为 $\frac{n-3}{n}$

综上可得：

$E_2=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{n-2}{n}(1+E_2)$

$E_3=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}(1+E_2)+\frac{n-3}{n}(1+E_3)$

解得 $E_2=\frac{n}{2},E_3=\frac{2n}{3}$
得到最终期望为：$E=\frac{2}{n}{E}_2+\frac{n-2}{n}{E}_3=\frac{2n-1}{3}$

参考代码

参考代码为已AC代码主干，其中部分功能需读者自行实现

void solve()
{
    ll n;cin >> n;
    if(n==1) {cout << 0 << endl;return ;}
    ll t=mul(Get_Mod(2*(n-2)+3),inv(3));
    cout << t << endl;
}