深入理解【二叉树】

 

作者简介： 清水加冰，目前大二在读，正在学习C/C++、Python、操作系统、数据库等。

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目录

 

 前言

1. 特殊二叉树

1.1 满二叉树

1.2 完全二叉树

1.3 二叉树的性质

2. 搜索二叉树

3. 练习

 题目一

 题目二

 题目三 

总结

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 前言

        在计算机科学领域中，二叉树作为一种重要的数据结构，被广泛应用于各种算法和问题的解决方案中。然而，对于许多人来说，二叉树仍然是一个神秘而复杂的概念。本篇博客将带领你一同深入探索二叉树的内在结构和特性，帮助你建立起对二叉树的全面理解。

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1. 特殊二叉树

         前边我们已经介绍了树的结构，也了解了普通二叉树，以及二叉树的遍历，今天我们将会继续深入学习二叉树。

1.1 满二叉树

        一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。如下图：

 1.2 完全二叉树

        完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（直白点说就是：假设有n层，前n-1层为满二叉树，最后一层的节点从左到右依次连接，不会出现一个节点连不满的情况）

如下图：

        这样的它就不属于完全二叉树：

 因为从左到右，有节点没有满（从左到右节点必须连满，不能出现有空）。

1.3 二叉树的性质

1.  若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2⁽ⁱ⁻¹⁾个结点.
2.  若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2ʰ-1
3.  对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 n₀=n₂+1(下标为二叉树的度)
4.  若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log₂（n+1）

        对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
•  若2i+1=n否则无左孩子
•  若2i+2=n否则无右孩子

2. 搜索二叉树

        上述的二叉树对于数据存储没什么特别规定与要求，属于普通二叉树大类，对于普通二叉树来说，没有增删查改，普通二叉树的增删查改在现实应用中是没有意义的（数据没有特殊规定，无法确认新增节点的位置）。所以这里我们再来介绍一下其他的二叉树——搜索二叉树

         什么是搜索二叉树？如下图：

         任何一颗树，左子树都要比根小，右子树都要比根大。搜索二叉树的这个特性使得它的插入位置就可以确定。例如我们要插入一个数据38：

         从根开始，38比35大，就进入右子树，38比39小，那就插入到39左子树的位置。

例如我们再插入一个40：

         从根开始，40比35大，就进入右子树，40比39大，进入右子树，40比65小，那就插入到65的左孩子节点位置。

        如果我们要查找一个数，例如我们查找30，30比35小，进入左子树，30比17大，进入右子树，30比20大继续进入到右子树，但20没有子节点，所以没有30这个节点，到这里就停止寻找。通过这些例子我们可以发现，这样的二叉树很适合搜索。搜索二叉树最多搜索高度次。

        搜索的时间复杂度是O(N)，细心的同学可能就会发现，搜素二叉树最多搜素高度次，那二叉树的高度不是有一个公式h= log₂（n+1），时间复杂度为什么不是O(log N)？

         这里注意：这个二叉树的高度公式针对的是满二叉树，而搜素二叉树它可能出现退化的情况。如下图：

 最坏的情况：我们找1这个节点，它的时间复杂度就是O(N)。

那要如何避免这种情况的发生？使左右两边的节点数量均匀，又要保持这个特性。

 这里又可以引出一个新的概念——平衡树

 平衡树的特性就是：左右两边的节点数据比较均匀。

 平衡树又可以分为：

• AVL树
• 红黑树

         依照现在博客所讲的水平，想要学会这两种树是不可能的，除此之外后续我们还会学习B树，它是一种多叉搜索树。数据库的原理就与它有关。（此部分为了解）这部分的树状结构才是有用的东西，精髓就在这部分内容，这里我们后续会进行学习。

        本期我们不会进行代码的编写介绍，我们要弄清楚二叉树的性质，以及延申部分。接下来就是练习部分，帮助大家理解掌握二叉树的性质。

 3. 练习

 题目一

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为  ()

A、不存在这样的二叉树

B、200

C、198

D、199

✨题目解析：

        度为2的节点有199个，根据二叉树的性质：n₀=n₂+1，度为0的节点个数等于度为2的节点个数+1。度为0的节点就为叶子节点。

 

正确答案：B

 题目二

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A、n

B、n+1

C、n-1

D、n/2

✨题目解析：

        这道题目看似无解，突破口就在完全二叉树。我们设度为0的节点个数为N0，度为1的节点个数为N1，度为2的节点个数为N2。根据性质可知：N0=N2+1，且N0+N1+N2=2n。

        两式联合：N0+N1+N0-1=2n。

又因为这是一颗完全二叉树，完全二叉树度为1的节点只能有1个或没有。但又要确保都为整数，所以度为1的节点就只要1个。即：N0+1+N0-1=2n

 

正确答案：A

 题目三 

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A、11

B、10

C、8

D、12

✨题目解析：

        题目要求这棵树的高度，那就设树的高度为h，最后一层缺了X个，根据定义我们可知：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

        由此可得出：2^h-1-X就是完全二叉树的节点个数，即：2^h-1-X=531。到这里看似无解，但我们还可以根据性质进行推算，X的取值范围是0  ~  2^(h-1)-1，至少最后一层有1个节点，最多最后一次为满（满二叉树），知道这些我们就可以带选项进行推算了。代换：2^h-1-2^(h-1)+1。代入选项，看最终哪个选项的结果最接近500。

        代入11，2的11次方：2048-1024=1024，如果高度是11那最少有1024个节点，A选项错误。这样依次代入。

 

正确答案：B

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总结

        通过本篇博客我们对二叉树的内在结构、特性，有了更全面的了解，希望通过本篇博客的阅读，你已经掌握了深入理解二叉树的关键知识。最后，感谢阅读！