我印象很深的一道数学题目

最近，我被拉去辅导读高中的表弟，被问到怎样才能学好高中数学，拿到好成绩。我突然想起了高中时那道带给我突破的数学题目。

以前我的数学成绩一般，基本上百分卷考个70多分的水平，学习是跟在老师或者其他同学后面，参照别人的做法，自己通过练习熟悉套路，能够应付通常的考试而已，谈不上自己的独立思考，灵活运用和经验分享。

读高中后，发现数学的难度较之前有明显提升。记得有一次数学课主要讲函数的单调性，给出了函数单调性的定义，并举例证明一次函数 y=ax+b 的单调性及单调区间，课后作业是求解二次函数 y=ax^2 + bx + c 的单调区间并证明其单调性。

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中午做作业，画二次函数对应的曲线图，很容易确定单调区间，但证明这个结论仅仅靠画图，感觉很苍白。短暂的思考，没有结论。又像往常一样去看其他同学怎么做，发现周围很多同学都是采用这种图形结合的方法，先画图然后结合图像特征给出答案。尽管当时自己没有更好的思路，但在我看来，所谓数学证明一个结论，往往需要用数学语言推理才够严谨。

一时没有新的思路，就跳出原来的思维圈子。我回顾了那节课的内容，主要讲函数单调性的定义，以及一个证明一次函数单调性的例子。那我能不能借鉴一下呢 ？重新梳理一下那个例子的思路，不拘于例子细节，只关注思路方法的框架，发现例子证明的思路跟函数单调性的定义是吻合的，满足了定义的约束条件，自然就得到结论。换言之，函数单调性的定义就指明了证明单调性的思路。根据单调性的定义，结合具体的函数特性，进行数学语言描述，针对二次函数系数不同情况，进行分类分析，归纳总结，最后证明出结论的同时，也求解出对应的单调区间。

尽管后来再回顾当时的做法，觉得很一般，可以说平淡无奇的思路。但在当时对我而言，却是巨大的突破。首先，自己开始了独立思考，没有消极等待参考老师或者其他同学的答案。其次，尽管也是参考书上例子的证明思路与方法，但没有拘于细节，而是从更高层次上提取思路与框架，然后再结合新情况去灵活运用。第三，在自己知识，经验方法不够时，要善于借鉴，积累，并灵活运用。

后来，高中的数学老师拆解高考数学题，总体上是围绕着基本定义，基本性质，定理和基本方法。弄懂这些基础，并能熟练应用，就可以轻松拿到80%的分数。至于想取得更高的分数，就需要在迭代升级打怪中不断总结了。