Problems of Turing machines

1.3 The halting problem is undecidabel. 请证明对于给定的图灵机和输入，没有算法能决定图灵机对这个输入是否停止。

证明：假设有通用图灵机

我们定义图灵机来模仿

现在考虑:

1. 假设，则，即，矛盾。
2. 假设，则，即，矛盾。

定义enumeration：如果集合由一个图灵机的所有可能的输出构成，则称它是可以枚举的(enumerable)。
非正式的说，就是可以把元素一个一个拿出来。

1.4 证明没有算法可以枚举(enumerate)所有没有输入且不停机的图灵机。

证明： pass。

Extending TM
multi-tape turing machine: 展示网页
多纸带图灵机运行的时候，状态转换函数把所有纸带的符号都考虑了进去。多纸带可以运行的更快，但和单纸带图灵机的区别并没有很大。

1.6 证明当输入长度为时，运行时长为的2-tape图灵机可以由运行时长为的1-tape图灵机模拟。

1.7 证明当输入长度为时，运行时长为的3-tape图灵机可以由运行时长为的2-tape图灵机模拟。

总之，运行时长为的k-tape图灵机可以由运行时长为的1-tape图灵机模拟