深度之眼 PyTorch 训练营第 4 期 (7)：torch.nn.init

1. torch.nn.init 概述

因为神经网络的训练过程其实是寻找最优解的过程，所以神经元的初始值非常重要。如果初始值恰好在最优解附近，神经网络的训练会非常简单。而当神经网络的层数增加以后，一个突出的问题就是梯度消失和梯度爆炸。前者指的是由于梯度接近 0，导致神经元无法进行更新；后者指的是误差梯度在更新中累积得到一个非常大的梯度，这样的梯度会大幅度更新网络参数，进而导致网络不稳定。

torch.nn.init 模块提供了合理初始化初始值的方法。它一共提供了四类初始化方法：

1. Xavier 分布初始化；
2. Kaiming 分布初始化；
3. 均匀分布、正态分布、常数分布初始化；
4. 其它初始化。

有梯度边界的激活函数如 sigmoid、tanh 和 softmax 等被称为饱和函数，没有梯度边界的激活函数如 relu 被称为不饱和函数，它们对应的初始化方法不同。

2. 梯度消失和梯度爆炸

假设我们有一个 3 层的全连接网络：

对倒数第二层神经元的权重进行反向传播的公式为：
$$\Delta W_3=\frac{\partial loss}{\partial W_3}=\frac{\partial loss}{\partial out}\ast \frac{\partial out}{\partial H_3}\ast \frac{\partial H_3}{\partial W_3}$$
而 $H_3=H_2\ast W_3$，所以
$$\Delta W_3=\frac{\partial loss}{\partial out}\ast \frac{\partial out}{\partial H_3}\ast H_2$$
即 $H_2$ ，即上一层的神经元的输出值，决定了 $\Delta W_3$ 的大小。如果 $H_2$ 太大或太小，即梯度消失或梯度爆炸，将导致神经网络无法训练。对于 sigmoid 和 tanh 等梯度绝对值小于 1 的激活函数来说，神经元的值会越来越小；对于其它情况，假设我们构建了一个 100 层的全连接网络：

class MLP(nn.Module):
    def __init__(self, neural_num, layers):
        super(MLP, self).__init__()
        self.linears = nn.ModuleList([nn.Linear(neural_num, neural_num, bias=False) for _ in range(layers)])
        self.neural_num = neural_num
        
    def forward(self, x):
        for (i, linear) in enumerate(self.linears):
            x = linear(x)
                
        return x
            
    def init(self):
        for m in self.modules():
            if isinstance(m, nn.Linear):
                nn.init.normal_(m.weight.data)

layers=100
neural_num=256
batch_size=16

net = MLP(neural_num, layers)
net.init()

inputs = torch.randn(batch_size, neural_num)
output = net(inputs)

打印一下神经网络的输出：

>>> print(output)
tensor([[nan, nan, nan,  ..., nan, nan, nan],
        [nan, nan, nan,  ..., nan, nan, nan],
        [nan, nan, nan,  ..., nan, nan, nan],
        ...,
        [nan, nan, nan,  ..., nan, nan, nan],
        [nan, nan, nan,  ..., nan, nan, nan],
        [nan, nan, nan,  ..., nan, nan, nan]], grad_fn=<MmBackward>)

可以看到，神经元的值都变成了 nan。这是为什么呢？

因为方差可以表征数据的离散程度，让我们来打印一下每次神经元的值的方差：

layers: 0, std: 15.7603178024292
layers: 1, std: 253.5698699951172
layers: 2, std: 4018.8212890625
layers: 3, std: 64962.9453125
layers: 4, std: 1050192.125
layers: 5, std: 16682177.0
...
layers: 28, std: 8.295319341711625e+34
layers: 29, std: 1.2787049888311946e+36
layers: 30, std: 2.0164275976565801e+37
layers: 31, std: nan

output is nan at 31th layers

tensor([[ 1.3354e+38, -2.0165e+38, -3.2402e+37,  ...,  1.0439e+37,
                -inf,  1.2574e+38],
        [       -inf,        -inf,         inf,  ...,        -inf,
                -inf,         inf],
        [ 1.2230e+37,        -inf,  5.6356e+37,  ..., -1.2776e+38,
                 inf,        -inf],
        ...,
        [ 2.1591e+37,  2.5838e+38, -2.9146e+38,  ...,         inf,
                -inf,        -inf],
        [        inf,  1.9056e+38,        -inf,  ...,         inf,
                -inf,        -inf],
        [       -inf,         inf, -1.7735e+38,  ...,  4.8110e+37,
                 inf,        -inf]], grad_fn=<MmBackward>)

可以看到，到第 30 层的时候，神经元的值已经非常大或非常小，终于在第 31 层的时候，神经元的值突破了存储精度的极限，只好变成了 nan。

我们知道，一组数的方差 $D$ 和 期望 $E$ 在 $X$ 与 $Y$ 相互独立的条件下满足下面的性质：
$$E(X\ast Y)=E(X)\ast E(Y)$$
$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$
$$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$
所以有：
$$D(X\ast Y)=D(X)\ast D(Y)+D(X)\ast [E(Y){]}^2+D(Y)\ast [E(X){]}^2$$
当 $E(X)=0$，$E(Y)=0$ 的时候：
$$D(X\ast Y)=D(X)\ast D(Y)$$
在神经网络中，由于全连接层的性质
$$H_{11}=\sum _{i=0}^n{X}_I\ast W_{1i}$$
得
$$\begin{gathered} D(H_{11})=\sum _{i=0}^{n}D(X_i)\ast D(W_{1i}) \\ =n\ast (1\ast 1) \\ =n \end{gathered}$$
因为 $X_i$ 服从一个方差为 1 的正态分布，而 $W_i$ 也服从一个方差为 1 的分布，所以 $D(H_{11})$ 的值就是神经元的个数，因此标准差就是 $\sqrt{n}$。而全连接的性质决定了第 $k$ 层的神经元的标准差为 $\sqrt{n^k}$，与上面例子中 256 个神经元的情况基本吻合。

为了让神经网络的神经元值稳定，我们希望将每一层神经元的方差维持在 1，这样每一次前向传播后的方差仍然是 1，使模型保持稳定。这被称为“方差一致性准则”。因为$D(H_{11})=n\ast D(X_i)\ast D(W_{1i})$，为了让 $D(H_i)=1$，我们只需要让 $D(W_i)=\frac{1}{n}$ 即 $std(W)=\sqrt{\frac{1}{n}}$。我们验证一下：

class MLP(nn.Module):
    def __init__(self, neural_num, layers):
        super(MLP, self).__init__()
        self.linears = nn.ModuleList([nn.Linear(neural_num, neural_num, bias=False) for _ in range(layers)])
        self.neural_num = neural_num
        
    def forward(self, x):
        for (i, linear) in enumerate(self.linears):
            x = linear(x)
            print(f'layers: {i}, std: {x.std()}')
            if torch.isnan(x.std()):
                print(f'output is nan at {i}th layers')
                break
                
        return x
            
    def init(self):
        for m in self.modules():
            if isinstance(m, nn.Linear):
                nn.init.normal_(m.weight.data, std=np.sqrt(1/self.neural_num))
layers=100
neural_num=256
batch_size=16

net = MLP(neural_num, layers)
net.init()

inputs = torch.randn(batch_size, neural_num)
output = net(inputs)

打印一下神经网络的神经元值：

layers: 0, std: 0.9983504414558411
layers: 1, std: 0.9868919253349304
layers: 2, std: 0.9728540778160095
layers: 3, std: 0.9823500514030457
layers: 4, std: 0.9672497510910034
layers: 5, std: 0.9902626276016235
...
layers: 95, std: 1.0507267713546753
layers: 96, std: 1.0782362222671509
layers: 97, std: 1.1384222507476807
layers: 98, std: 1.1450780630111694
layers: 99, std: 1.138461709022522
tensor([[-0.6622,  0.4439,  0.5704,  ..., -2.2066, -1.1012,  0.0450],
        [-0.1037, -0.3485, -0.0313,  ..., -0.1562, -0.0520,  0.6481],
        [ 0.3136, -0.0966, -1.5647,  ..., -0.8760, -0.7498,  0.6339],
        ...,
        [-0.6644, -0.4354,  0.8103,  ...,  1.1510,  0.7699,  0.0607],
        [-0.7511, -0.1086,  0.4008,  ...,  1.5456,  0.6027, -0.0303],
        [-0.5602, -0.1664, -0.9711,  ..., -1.0884, -0.7040,  0.7415]],
       grad_fn=<MmBackward>)

神经元的值果然是稳定的。

3. torch.nn.init.calculate_gain

这个函数计算激活函数之前和之后的方差的比例变化。比如 $D(X)=1$ 经过 rlue 以后还是 1，所以它的增益是 1。PyTorch 给了常见的激活函数的变化增益：

激活函数	变化增益
Linearity	1
ConvND	1
Sigmoid	1
Tanh	$\frac{5}{3}$
ReLU	$\sqrt{2}$
Leaky ReLU	$\sqrt{\frac{2}{1+negative\_slop{e}^2}}$

这个函数的参数如下：torch.nn.init.calculate_gain(nonlinearity, param=None)

• nonlinearity：激活函数；
• param激活函数的参数。

4. Xavier initialization

为了解决饱和激活函数里的权重初始化问题，2010 年 Glorot 和 Bengio 发表了《Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks》 论文，正式提出了 Xavier 初始化。Xavier 初始化通常使用均匀分布。由论文得，初始化后的张量中的值采样自 $U[-a,a]$ 且
$$a=\text{gain}\times \sqrt{\frac{6}{n_i+ni+1}}$$
均匀分布下的 Xavier 初始化函数为 torch.nn.init.xavier_uniform_(tensor, gain=1)。

Xavier 初始化也可以采用正态分布的方式。其初始化后的张量中的值采样自 $U[-a,a]$ 且
$$a=\text{gain}\times \sqrt{\frac{2}{n_i+ni+1}}$$

5. Kaiming initialization

2011 年 ReLU 函数横空出世，Xavier 初始化对 ReLU 函数不再适用。2015 年，Kaiming He 提出了另一种初始化方法来适应 ReLU：
$$a=\frac{2}{(1+a^2)\ast n_i}$$
a 是 ReLU 上 $x<0$ 时的斜率。同样的，Kaiming 初始化也有均匀分布和正态分布两种：
torch.nn.init.kaiming_uniform_(tensor, a=0, mode='fan_in', nonlinearity='leaky_relu')：均匀分布的 Kaiming 初始化函数；

torch.nn.init.kaiming_normal_(tensor, a=0, mode='fan_in', nonlinearity='leaky_relu')：正态分布的 Kaiming 初始化函数。

6. 其它初始化方法

• torch.nn.init.uniform_(tensor, a=0.0, b=1.0)：初始化服从 [a, b] 范围的均匀分布；
• torch.nn.init.normal_(tensor, mean=0.0, std=1.0)：初始化服从 mean=0，std=1 时的正态分布；
• torch.nn.init.constant_(tensor, val)：初始化为任一常数；
• torch.nn.init.ones_(tensor)：初始化为 1；
• torch.nn.init.zeros_(tensor)初始化为 0；
• torch.nn.init.eye_(tensor)：初始化对角线为 1，其它为 0；
• torch.nn.init.orthogonal_(tensor, gain=1)：对张量的矩形区域进行初始化。由于张量都是矩形，个人理解是这个函数会将整个张量进行初始化。
• torch.nn.init.sparse_(tensor, sparsity, std=0.01)：以 sparsity 为概率将张量填充 0，剩余的元素的标准差为 std。

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