五、二维费用的背包问题

题记

二维费用的背包问题是指在选择物品放入背包时，每个物品有两个不同的费用，且背包的容量也有限制。目标是在保证费用不超过限制的前提下，使得放入背包的物品价值最大化。

算法

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：
$$f[i][v][u]=max(f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+c[i])$$
则时间复杂度为O(kvu)，需要使用三重循环进行计算。

题目

1271：【例9.15】潜水员
【题目描述】
潜水员为了潜水要使用特殊的装备。他有一个带2种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。让潜水员下潜的深度需要各种的数量的氧和氮。潜水员有一定数量的气缸。每个气缸都有重量和气体容量。潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？

例如：潜水员有5个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：

3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

如果潜水员需要5升的氧和60升的氮则总重最小为249（1，2或者4，5号气缸）。

你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

【输入】
第一行有2整数m，n（1≤m≤21，1≤n≤79）。它们表示氧，氮各自需要的量。

第二行为整数k（1≤k≤1000）表示气缸的个数。

此后的k行，每行包括ai，bi，ci（1≤ai≤21，1≤bi≤79，1≤ci≤800）3整数。这些各自是：第i个气缸里的氧和氮的容量及汽缸重量。

【输出】
仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

【输入样例】

5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

【输出样例】

249

代码

#include
using namespace std;
int v,u,k;
int a[1001],b[1001],c[1001];
int f[101][101];
int main() {
	memset(f,127,sizeof(f));//初始化为一个很大的正整数
	f[0][0]=0;
	cin>>v>>u>>k;
	for(int i=1; i<=k; i++)
		cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
	for(int i=1; i<=k; i++)
		for(int j=v; j>=0; j--)
			for(int l=u; l>=0; l--) {
				int t1=j+a[i],t2=l+b[i];
				if(t1>v)t1=v;//若氧，氮含量超过需求，可直接用需求量代换。 
				if(t2>u)t2=u;//不影响最优解 
				if(f[t1][t2]>f[j][l]+c[i])f[t1][t2]=f[j][l]+c[i];
			}
	cout<<f[v][u];
	return 0;
}