组合(集成/重组)思维与"反应"思想
在数学思想方法揭秘-1(原创)中介绍过组合思维，它是一种具有创新性的思维。小朋友玩积木，用积木拼凑组装出(变出)各种形状的物体就是运用了组合思维；化学中的化学反应，几种物质放在一起发生反应生成新的物质也类似组合。生物学中基因的重组与转移也与此类似。
在创新发明中的组合思维一般和结构化以及多维度的发散思维联系在一起。多维度的发散思维，例如服装设计创新，可以从服装颜色、衣物材质、尺寸、风格、目标人群的年龄、性别、季节、穿着场合等多个维度进行发散，进行多维度的组合。对组合思维更详细的解释见百度百科组合思维。
在数学解题过程中，把多个数学对象通过各种数学运算&算子(operator)&变换等组合起来，也就是进行各种组合变换，产生新的数学对象和新的关系，例如把两个方程式相加相减、相乘、相除，产生一个新的方程式，那组合算子就是加、减、乘、除；对几何题，通过构造法构建出或组合出新的几何结构或几何模型，例如构造正三角形、构造全等或相似三角形、通过几何变换(例如平移、旋转、对称)把分散的疏离的几何对象重组聚合起来，产生新的几何结构。
组合的分类
按组合的实在性进行分类，可分为：物理组合、逻辑组合。
按组合的元素类型进行分类，可分为：
1.数学对象组合(物理组合，实组合)
例如通过平移或旋转等手段几条几何线段或角度组合在一起、把几个代数式组合在一起。
2.信息组合(虚组合)
多个信息组合在一起，通常可产生新的信息。例如a>0和b<0一起，可推理得出a>b.
3.思想组合(虚组合)
4.概念组合
在数学中进行组合的对象不仅仅只是数学对象，还可对多个信息进行组合，甚至还可对思想、概念进行组合，例如关系思想和变中有不变思想进行组合就启发我们要关注题目中不变的关系稳定的关系，例如斜边为固定长度(定长)的直角三角形，两个直角边可以变化，显然有无数个这样的三角形，也就是直角三角形是变化的，但无论怎样变，除了直角和斜边长度不变，还有个稳定的关系和稳定的对象：斜边中线始终是斜边的一半，斜边中线为定长。
组合时要进行整体到部分的结构分析，例如，从外形上，人的身体由4大部分组成：头、颈、躯干、四肢。与此类似，在数学解题中运用组合时，要先分析问题中涉及的数学对象的粒度和结构关系，按照设想的组合后的目标结构模式，分析目标组合的层次结构和构成，把它和当前的结构进行比较，根据差异产生组合或重组方案，根据方案对当前的数学对象进行分解和变换，再重新进行排列组合(重组)，得到或变出设想的目标结构模式。可见组合思想在实现执行层面要运用构造思想，在静态概念对象(对象是名词)层面体现整体思想：通过组合构造出新对象(新事物新方案)，这个新对象是整体，是我们设想的组合目标，我们要分析它的构成结构，厘清组成成分(part)。
组合的目的性和选择性。通过组合可以产生各种事物，但如果没有目的地随意组合，这些组合出的事物大多数很可能是无用的。我们通常会先确定组合的目标产物，基于它进行有目的的组合，筛选有价值的组合。
对组合的运用，在前面系列文章的数学题中有体现，这里摘录我今日头条‘数学之道’中的一道初中题再来体会一下组合思维。
思维过程和解题方法见图二。
这道题综合运用了多种思想方法：观察、转化、分析法、方程思想、整体思想(例如把ad作为一个整体)、组合思维、关系思想。
详细讲解下组合在这道题中的运用，也是讲解思维过程。这道题经过转化和分析，可知要求出ad的乘积。根据题目已知条件(三个已知面积)解不出未知数a和d的值，因为方程式的数量少于未知数个数，所以只能把ad作为一个整体进行求解，所以要运用整体思想和组合思想，ad就是我们设想的组合目标，它好比我们要拼成的积木形状。
接下来分析(分解)ad这个组合的结构层次和内部构成。ad好比化学中的分子，它由a和d这两个细粒度的小原子数学对象通过相乘关系来构成。再和当前的结构和排列组合进行比较，当前的就是方程式1、2、3。1、2中有ad、ac、bd，其中ad已经组合好，但ac中的a和bd中d是分开的,要想法把它们组合在一起。要组合在一起，根据前面分析的目标组合结构，ad中的a和d是相乘的，故我们要优先向相乘的方向探索组合方案：对方程式1、2进行变形，变出方程式5和6，再把两者相乘。
组合的效果类似化学反应：方程5中的ac和方程6中的bd好比两个分子，它们分解破裂出原子a、b、c、d，这些原子重新进行排列组合，得到两种新分子adbc，而bc=10。这样通过组合变换得到关于ad的一元二次方程，再用换元法或直接求出ad的值。
通过学习这道题解题过程中的思维变化和代数式变形以及组合变换，也能体会到前面讲的”解题思维的本质和最高准则就是变化，就是辩证法的运动变化，不断地变更问题的形式，不断地变更主体(人)的思维”，要像孙悟空那样灵活自由地所需而变 。至于怎么变，就要运用具体的数学思想方法、解题策略和所学知识、经验找出变化的方向和变化的目标和变化的方法。
这道题，即使没有意识到要运用组合思维，如果我们回退到解题思维的本质，在“解题思维的本质就是变化”的指引下，着眼于变化，也是可能做出来的。列出1、2、3这三个方程式之后，下一步要进行变换，对方程式进行变形。这道题变形的手段不多，结合所学的知识、方法、经验按图索骥（知识体系、方法等就是一张张图，例如现在流行的脑图），不外乎对方程式左右两边移项、除法变形。如果进行除法变形，最后会发现越做越复杂，应该要意识到碰壁了，此路不通，反思调整后很可能就找到只移项但不做除法变形。
先前讲过最小维度思想，但这题就没有完全贯彻最小维度思想，按最小维度思想，如果有b，很可能就不会有c这个符号对象，c会被替换为10/b，但这样做会增加解题过程的复杂性。为什么？因为这题根据题目已知条件，只能根据3个已知面积条件列出3个等量关系式，关系式数量少，少于未知数数量。等量替换后没有剩余可以用来设方程的关系式了，故解不出线段长度未知数。这样分析思考和判断决策，应该意识到此题用最小维度思想不合适。从这可体会到要辩证思考，具体问题具体分析，要考虑方法的适用条件和适用性。反过来，既然解不出线段长度(细粒度)，反而不如增加未知数c、d更简洁，再运用整体思想(粗粒度，整体的粒度显然大于其组成部分part的粒度)求出ad乘积。
组合思维和结构化思维
什么是结构化思维，网上有很多讲解。浅显的可以学习如下的内容：
什么是结构化思维？
思路清晰的秘诀：结构化思维（自上而下）
3个步骤教你学会麦肯锡的思考方法：结构化思维
要进行组合，一般事先要有组合的目标，例如我们搭建一个积木或一个建筑物，这就是我们的终极目标，为了实现它，我们一般会进行设计&建模，在设计&建模时会用到结构化思维进行分解与组合。组合思维是实现结构化思维的主要手段。
对称&对偶组合
孤阴不生，孤阳不长，交通成和，万物化生。
利用两个(一对)数学对象之间存在对称或对偶关系来进行组合。对称&对偶组合是一种特殊的组合，它和前面讲的均值换元法在形式上是类似的，根据数学对象的结构特征，联想或构造该数学对象的对称或对偶对象，然后对两者进行组合运算。
例如，共轭复数，看到(a，b∈R)，则构造；
分母有理化时，看到，联想到。
看到，联想到，再把两者组合起来，例如=
=...
建构(构造)与解构(解耦)
在数学解题时，会碰到关系、结构、模式的建构和解构。例如建构新关系或新结构，而对复杂的关系和结构，我们会进行解构或者说分解、解耦，就好比把两根缠在一起的线分开。
建构的例子就不讲了，在关系思想、构造法、合情合理的猜想等思想方法中都有用到建构，建构关系、建构结构、建构模式，这里用一道高中数学题讲结构或关系的解构。
这道题有多种方法，这里介绍一种。
观察已知条件的特征，从其关系结构特征，我们发现它可进行因式分解，这就是关系或结构的解构或解藕，故得到如下方法。
上面的方法，其解藕途径或解藕手段就是利用可因式分解的特征，通过参数化思想引入中间参数：变量t，从而实现x、y关系的解藕，从强耦合变为弱(松)耦合。
反应思想
反应有物理反应、化学反应、核反应、湮灭反应等。
物理反应是指物质的状态或存在的形式发生了改变，而物质本身的性质没有变化，例如液态水变成水蒸气或冰。数学中也存在"物理反应"，如等价代换和一些换元。
初中学过化学，都知道化学反应以及相关的催化剂、溶解、酸碱中和反应、活性。在日常生活中去污就利用了化学反应，例如对衣物上难以祛除的污渍，我们要用洗衣粉或洗衣剂来和污渍发生化学反应中和污渍，达到清除污渍的效果，有的洗衣粉中还添加催化剂增强去污能力。对厨房中的油污，喷洒清洁剂后就容易清除了。
核反应，例如核电站中的核裂变反应。
湮灭反应，就是正反物质相遇所产生的反应，例如正负电子相遇，此时正负电子都会消失，转化为新的粒子并伴随有能量辐射。
前面提到过组合思维和反应的相似性，数学思维的本质特征是(运动)变化&变换，这和反应也有类比性。众所周知，所以可以把"反应'思想作为一种和组合思维类似的引入到数学中指导我们的思维活动。
其实从幼儿数学教育开始，就开始碰到组合或"反应"。到初中阶段，数学中的各种运算可类比为”化学反应”，1+1=2，2就是通过加法这种”化学反应”产生的数学新对象新物质，加法是一种数学"化学反应"。
在数学解题思维过程中，我们要主动运用反应思想或组合思维。在大脑中通过自我对话形式进行自问，自我引导自己的思维：
通过"反应"能变出什么(哪些)"新物质",有哪些效应，有哪些反应(变化)类型?具体的反应方式是什么？参与反应的物质(对象)有哪些？这有些类似数学中的综合法，这里用”反应”更贴切。
对上面的对话作进一步的解释：
1.有哪些反应(变化)类型(反应模式)？已化学反应为例，它具有多种类型，例如按反应物与生成物的类型分四类：化合反应、分解反应、置换反应、复分解反应。在数学中的’’反应”类型(反应模式)就更多了，几乎各种运算都是，加减乘除、平方开方等等都是，也可以是复合反应，例如a+b*c。还可以是某些公式、定理、关系，例如勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方。
2.反应方式是反应发生的位置(地点)和部位。在数学"物质(对象)"的哪些部位发生反应。
3.题目中哪些对象或哪些部位要进行反应，这个要通过观察、矛盾分析法、合情合理的设想等把它们找出来。找出来之后，再找能和它们发生反应的对象，也就是参与反应的数学'物质(对象)"有哪些？或加速反应的催化剂有哪些？能否合情合理推理和猜想出参与反应的一些数学对象？是多个已知条件之间发生反应?还是已知条件和结论进行反应?已知条件和中间结论?中间结论和结论?
4.能生成哪些数学"新物质(对象)"?设想需要生成哪些目标"新物质(对象)"？
举例如下。
已知a>0,b>2,且a+b=6,求的最小值。
这题的解题方法有多种，这里介绍如何反思调整和如何运用化学反应思想来解题。
首先简略进行矛盾分析：题目的解题障碍在分母，要想法消除分母或分母的不利影响。
如何消除？实验试探一下，用加法进行反应来消除，参与反应的对象有所求的答案对象，另外还有合情合理设想出的对象。整个反应方案如下，用加法进行反应：
可见还运用了均值不等式进行一连串的连锁"化学反应"。
失败不可怕，就怕没有反思或无效反思。我们反思不可行的原因：主要是上述方案中a和b-2的系数是1，是死的固定的不合适的系数，导致上面三个条件不可能同时满足。找到失败原因后，否定之否定，在失败方案基础上进行调整，让三个条件不可能同时成立变可能成立(现在还不能保证一定能成立)，也就是调整a和b-2的系数，设为k(正数)，它是活的，我们还不知道k的具体值，它是待定系数，可以先合情合理地设想如下大体的模式框架：
=。
等号成立的条件为：
可解出
=
故最小值为。
为何要将a和b-2系数设置为相同(k)？自己思考下。
这就是基于合情合理的设想，因为只有这样才能方便利用上已知条件a+b=6，否则系数不同不方便利用。
也可以体会下这个方法中的失败与成功、死(固定)与活(可变)、已知与未知、确定与待定、严格与宽松(自由)、不可能与可能的辩证统一和相互转化。
是否还有其他的反应方案？
上面是加法，其实还可跳出加法的思维定势，联想到运用乘法进行反应，如下：
思考如何发生反应就是思考如何变化，辩证法中的运动变化是数学思维的本质特征，玩数学就是玩的思维游戏。
另一道题：
观察要证明的不等式，左边的3个分母()和其他对象的关系不和谐，相互之间缺少活性，例如分式中分子和分母的关系很疏远很不对眼；三个分式的分母不同，通分直觉上不可行，三个分式之间的关系也不协调不对眼。这些都是题目中的矛盾，这些矛盾是阻碍解题的拦路虎或麻烦制造者，增加了解题难度。主要矛盾是这3个分母，它们这就好比衣物中难洗的污渍，需要想法清除。
如何清除它们？
要想法找到能和这些分母发生"反应"的物质对象、加速反应的催化剂以及反应方程式(模式)，通过反应中和、溶解、湮灭、改造这3个分母，消除它们。
如果能从也就是"反应方程式":
。通过在分子中加入b和分母进行反应，中和、溶解、湮灭、改造了难缠的分母。
三式相加可得：
数学中的各种思维方式、思想方法、解题策略都是为了变化变通，多体会数学中的"物理反应"、"化学反应"、“核反应”、”湮灭反应”，它们都是"化功"大法。
分解&分离思想
组合的对立面就是分解&分离。本系列从一开始就在强调领悟数学思维要懂辩证法，要运用辩证思维。分久必合，合久必分，组合与分解可以相互转化，合中有分，分中有合。
分离思想是众多数学思想中的一个非常重要的思想，在数学中有非常广泛的应用，例如代数中的参数分离、几何图形的拆分、分组、化整为零（把一些大的数学对象拆分成小的对象，这里的大可能是数值大，也可能是结构上的）。
德国哲学家、数学家莱布尼兹一针见血地指出：“不讲分解技巧，分而治之就不大有用。无经验者对问题分解不当，反而会增加困难“。要掌握分离思想的精髓和分离原则，也就是掌握分离之道，可以体会下庖丁的解牛之道以及计算机软件工程中的高内聚低耦合原则，分离思想的精髓和分离原则和它们是一样的。
分离时通常需要遵从的原则：
1）低耦合、高内聚原则：莱布尼兹指出：“分解的主要难点在于怎么分。分解策略之一是按容易求解的方式来分，之二是在弱耦合处下手，切断联系”。在弱耦合处下手，切断联系。”，也就是通常在联系最薄弱的地方进行分离。
2）从上到下原则：先大体确定拆分成几个小对象，每个小对象的粒度和边界，以及每个小对象大体的模式。如何确定这些？通常是综合运用多种思维方法和思想方法。
3）熵减原则：分离之后，整体上变得有序、统一、和谐，(数学美)变美了；后续的运算、操作变简单了；拉近了结论与条件之间的距离，建立了结论和条件之间的有益的关联。
4）模式化原则：分离之后，符合某些数学模式、模型。
每个小对象的具体组成有可能还有些不确定，可以根据小对象的模式，提纲挈领/按图索骥/顺藤摸瓜进一步确定具体组成。
我们前面也介绍过关系思想，其主要内容是把关系作为重点关注的对象，发现(识别)关系、利用好关系(走关系)、构建关系(没有想要的关系时建立关系，拉关系)、变换关系、增强关系深化关系、弱化关系解耦关系等。
整个解题过程好比一段段环环相联(扣)的链子，解题卡壳就是链子中缺少某一段或不知道下一段是什么。关系的建构或思考下一步如何变化就是把缺失的这一段找出来。可能通过挖掘题目中隐藏的条件或关系，或者联想一个数学公式或数学定理，或者设想一个数学模式，或者探索出一种代数式的变形，或者几何变换，就能把缺失的一段找出来。
当几个数学对象对象纠缠在一起，或直接联系在一起，导致它们之间的关和系过于紧密，有时这种紧密的关系有助于解题，但有时紧密的关系可能会妨碍解题，成为解题障碍，此时就需要弱化解耦关系(目标、意图)时，通常的一种实现手段是运用分解来进行关系解耦，拆开或降低它们的关系耦合度。
这里举两个例子。
第一个
已知x、y、z为正数，且满足 ，求
这题方法不只一种，这里只给出其中一种。
思维过程&分析过程：
观察已知条件，发现左边的结构特征是相乘，此处的相乘导致x、y、z缠绕在一起，也就是它们的这种紧密耦合的关系成为我们的解题障碍，在这种情况下我们不好解题，所以要进行关系解耦，降低它们之间的耦合度。如何解耦，通常的实现手段就是分解。具体如何分解，一般是通过引入中间变量进行换元。这里也体会下目标(意图)与手段之间的辩证关系。此处的目标是解耦，手段是分解，接下来要分解，其对应的手段是引入中间变量进行换元。
接下来回到结论，此时我们碰到多项选择：是否相乘直接展开还是先不展开。我们选择先不展开，先进行恒等变形。为何选择先不展开，因为
，这也是转化。
在证明等比定理时，也是引入了一个中间变量来进行关系解耦。中间变量或中间参数是一个媒介或沟通桥梁纽带，通过它将直接关系或紧密关系变成耦合度较低的间接关系。可见(中间)媒介思想也可认为是一种数学思想,它类似生活中的各种中介代理或介绍人，在没有关系时或关系较弱需要增强关系时，可通过中介来增强关系和沟通，在关系过于紧密需要降低耦合度时，可也运用中介。中间变量的另一个作用就是改变问题的形式或结构，例如换元法中引入的元。
上面讲到接近(逼近)思想，这里岔开本篇的主题，再举例讲解下接近思想。
解题思维过程：观察对比题目的已知条件和结论的特征，它们都有a和b+c，这也启发暗示我们可能应该把b+c作为一个整体对象，但已知条件代数式右边又有bc，如果把bc也作为一个整体对象，会导致对象过多，增加处理难度。但如果不把bc作为整体而是把bc分解为两个原子对象b和c，又会出现整体(b+c)和局部对象(b、c)的矛盾，且这种整体-局部的矛盾不好转化不好调解，所以要减少对象数量。想到所学的数学知识：，利用它将等式a(a+b+c)=bc变成，这就好处理了，这是一个一元二次不等式:
距离的本意是物理距离，例如A与B相距多少公里。接近思想中的距离是广义的，我们先确定距离中的A(当前位置)与B(目标位置，目标可以是结论、某个定理、某个公式、某个已知的或熟悉的问题、某个设想的模式)，再定义A与B的度量"距离"。这里的就是，可以感觉它们(A、B)在”对象种类距离”上相距较远，而把A转化&变化为后，A与B在"对象种类距离"上就接近了：不考虑原子对象b、c，结论中有2种类型的对象：a和b+c；已知条件中有a、b+c、bc，3种。显然它们的”对象类型距离”为3-2=1，较远，靠不到一起。而变化之后，距离缩小为2-2=0，它们变得一致了。
可以定义各种类型的距离，例如结构距离、形式距离、模型距离、模式距离、数值距离、维度数量距离、对象(元素)种类距离。
第二个
这题方法至少有5种，这里介绍一种。
分析过程：观察已知条件，发现左边具有平方差的结构特征，并且左边的这种x、y耦合关系不利于解题，成为解题障碍，所以要想法降低它们的耦合度，不是不要耦合不要关系，是把过由于紧密的关系解耦，降低耦合度。如何降低？首先想到分解，平方差特征很自然就联想回忆起平方差的因式分解。
这里再强调下面向特征和模式识别的解题策略，这几道题的分析过程都有用到该策略。发现识别特征，基于特征展开思维，例如进行联想、类比、转化、改造、变换、抽象、归纳、数形结合、合情合理的推理猜想等。对关系或结构进行改造和构建，包括重组&重构、整理&梳理、调整&变形，(关系)联通&建联，通常是向有序、解耦、熵减、调适的方向进行，通过这些行动，架起已知条件和解题目标的沟通桥梁，不断缩短和目标的距离。
组合思维与条件集中原则
数学思想方法揭秘-1中曾提到”条件集中”原则，该原则体现了组合思维，利用组合的创新性。把条件集中就是对条件进行各种组合，通过组合可以产生新信息、新关系、新模式、新对象、新结构。
条件集中可以是物理上的集中(物理组合)，也可以是逻辑上的集中(逻辑组合)，这些在“组合的分类”中有介绍。
组合再往上，上层就是模式思想，通过组合产生便于求解的数学模式或期望的数学模式 ，也就是把相关数学对象纳入到囊括到数学模式中。
总结： 组合思维更准确地讲应该叫组合思想，考虑到大家都叫组合思维，也就从众。组合思维通常会运用下层的”构造”思想，体现关系思想(上层)，因为运用组合思想就是主动去建构关系，主动去创建新对象和新关系。
组合思维、结构化思维、构造思想、关系思想、模型思想/模式等是相互联系的。
关系即结构，不仅要看到有形的明显的结构关系，还要发现隐藏的结构关系，主动发挥创造性去构建新的结构关系，构建关系即促进了耦合。
辩证思维，具体情况具体分析，要灵活变通，不要绝对化：有时要进行组合/耦合，而有时要进行分解/解耦，在一道题中可能即有组合也有分解。有时低(弱)耦合或无耦合好，此时要想法利用分解等手段对强耦合进行解耦或降低耦合度，而有时强耦合好，此时要运用组合或其他手段提高耦合度。
与分解接近的是分类、分组、分区。
组合与“缘起性空，因(机)缘和合”
和合就是组合。万事事物无独立自性，都是因缘和合而生，也都将随着因缘分散而灭。因此，我们眼睛所看到的一切现象“有”，都是缘起而有；因为缘起而有，因此它的本性是“空”。
合缘起的先决条件是“因”，有“因”再加上“缘”，条件具足，才能生“果”。“因”是生起万事万物主要的、内在的条件，是生果的直接力；“缘”是外在的条件，能助因生果，是生果的间接力。所以，万有诸法之所以存在，必定有其生成的因缘，这就是“果从因生”的理则。
当内因或外缘不具备，也就是没有条件或条件不成熟不满足时，我们有时要主动去创造、改造、调整内外的条件或环境。