高中奥数 2022-03-28

构造函数

根据代数式的特征,构造适当的函数,利用一次函数、二次函数的性质,以及函数的单调性等性质,可以帮助我们来证明不等式.

2022-03-28-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P070 例03）

已知,求证:.

分析不等式的两边是关于、、对称的,且、、都是一次的,所以可以尝试构造一次函数.

证明

设,则有

因为,所以,,故

从而

所以,当时,恒大于0,于是,即

2022-03-28-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P071 例04）

设,,,,,,且满足,求证:

证明

当时,原不等式显然成立.

当时,构造二次函数
$\begin{aligned} f\left(t\right)&=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-1\right)t^{2}-2\left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-1\right)t+\left(y_2^{2}+y_3^{2}-1\right)\\ &=\left(x_{1}t-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}t-y_{2}\right)^{2}+\left(x_{3}t-y_{3}\right)^{2}-\left(t-1\right)^{2}, \end{aligned}$
这是一个开口向下的抛物线,又因为

所以,此抛物线的图象与轴一定有交点,从而

故

说明对于要证明“ (或) ”,这类不等式,我们先把不等式变形为

然后构造一个二次函数,再设法证明其判别式(或).

2022-03-28-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P072 例05）

设的三边长、、满足:,求证:

证明

由,可知原不等式等价于

令,则

由于、、为三角形三边长,有,故、及都大于0,所以
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{5}{9}\right)&=\left(\dfrac{5}{9}-a\right)\left(\dfrac{5}{9}-b\right)\left(\dfrac{5}{9}-c\right)\\ &\leqslant \dfrac{1}{27}\cdot \left[\left(\dfrac{5}{9}-a\right)+\left(\dfrac{5}{9}-b\right)+\left(\dfrac{5}{9}-c\right)\right]^{3}\\ &=\dfrac{8}{27^{2}}. \end{aligned}$
因此,整理即得式,故原不等式得证.

2022-03-28-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P072 例06）

已知不等式

对于恒成立,求的取值范围.

解

设,则,且

从而原不等式可化为

即

因为,所以,从而不等式对于恒成立,即,恒成立.

令,,则.

因为在上单调递减,所以,所以的取值范围为.

说明利用函数的单调性,以及求函数最值的方法可以帮助我们来证明不等式.

2022-03-28-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P073 例07）

求证:对任意正实数、、,都有

证明

令,,,则,.于是只需证明

不妨设,令,则,.于是
$\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z}}&>\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}\\ &=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}\\ &>1. \end{aligned}$
设,则,当且仅当时,.于是
$\begin{aligned} &\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}\right)^{2}\\ =&\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{A}{x}}}\right)^{2}\\ =&\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+\dfrac{A}{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+A+x+\dfrac{A}{x}}}\\ =&\dfrac{2+x+\dfrac{A}{x}}{1+A+x+\dfrac{A}{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+A+x+\dfrac{A}{x}}}\\ =&1+\left(1-A\right)u^{2}+2u. \end{aligned}$

构造函数,令,则在是增函数,所以

令,则
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z}} \\ \leqslant & \dfrac{2}{\sqrt{1+\sqrt{A}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{A}}} \\ =& \dfrac{2}{\sqrt{1+v}}+\dfrac{\sqrt{2} v}{\sqrt{2\left(1+v^{2}\right)}} \\ \leqslant & \dfrac{2}{\sqrt{1+v}}+\dfrac{\sqrt{2} v}{1+v} \\ =& \dfrac{2}{\sqrt{1+v}}+\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{1+v} \\ =&-\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+v}}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \leqslant & \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}. \end{aligned}$

高中奥数 2022-03-28

构造函数

你可能感兴趣的:(高中奥数 2022-03-28)