csuoj 1503: 点到圆弧的距离

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1503: 点到圆弧的距离

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题目描述

输入一个点P和一条圆弧（圆周的一部分），你的任务是计算P到圆弧的最短距离。换句话说，你需要在圆弧上找一个点，到P点的距离最小。 提示：请尽量使用精确算法。相比之下，近似算法更难通过本题的数据。

 

输入

输入包含最多10000组数据。每组数据包含8个整数x1, y1, x2, y2, x3, y3, xp, yp。圆弧的起点是A(x1,y1)，经过点B(x2,y2)，结束位置是C(x3,y3)。点P的位置是 (xp,yp)。输入保证A, B, C各不相同且不会共线。上述所有点的坐标绝对值不超过20。

 

输出

对于每组数据，输出测试点编号和P到圆弧的距离，保留三位小数。你的输出和标准输出之间最多能有0.001的误差。

 

样例输入

0 0 1 1 2 0 1 -1

3 4 0 5 -3 4 0 1

样例输出

Case 1: 1.414

Case 2: 4.000

提示

 

来源

湖南省第十届大学生计算机程序设计竞赛

 

 

 

分析：

分两种情况就可以了，第一种是那个点跟圆心的连线在那段扇形的圆弧范围内，这样的话点到圆弧的最短距离就是点到圆心的距离减去半径然后再取绝对值就可以了，第二种情况是那个点跟圆心的连线不在那段扇形的圆弧范围内，这样的话，最短的距离就是到这段圆弧的端点的最小值。

接下来的第一步就是求圆心的坐标跟圆的半径，只要求出圆心坐标半径就好说了，求圆心坐标我用的方法是：

设圆心坐标是(a,b)，然后列方程：

(x1-a)^2 + (y1-b)^2 = r^2;

(x2-a)^2 + (y2-b)^2 = r^2;

(x3-a)^2 + (y3-b)^2 = r^2;

然后这样的话，计算过程中会出现y2-y1做分母的情况，所以，我又分了两种情况来讨论。

求出圆心坐标然后接下来的问题就只有怎么判断那个点跟圆心的连线是不是在扇形的圆弧范围内了，我也是用了分情况讨论的，但这里分的情况还是比较多的，一开始分了8种情况，然后压缩了一下，变成4种情况，分别是：

判断给点的顺序是顺时针还是逆时针，然后判断区间的方向，然后就是判断那个点是不是跟p2点在同一个区间就可以了。

 

 

 

AC代码：

 

  1 #include<cstdio>

  2 #include<cstring>

  3 #include<iostream>

  4 #include<algorithm>

  5 #include<cmath>

  6 using namespace std;

  7 const double eps = 1e-6,PI = acos(-1.0);

  8 

  9 struct Point

 10 {

 11     double x,y;

 12     friend Point operator - (Point a,Point b)

 13     {

 14         Point temp;

 15         temp.x = a.x - b.x;

 16         temp.y = a.y - b.y;

 17         return temp;

 18     }

 19 };

 20 

 21 Point p1,p2,p3,pc,pp;

 22 double r;

 23 

 24 Point get_pc1(Point p1, Point p2, Point p3)    //求圆心

 25 {

 26   Point p;

 27   if(fabs(p1.y-p2.y) > eps)      //因为计算过程中有出现(y2-y1)做分母的情况，所以这里分了两种情况讨论

 28   {

 29  //      double t1 = p3.x*p3.x - p1.x*p1.x+p3.y*p3.y-p1.y*p1.y-((p3.y-p1.y)*(p1.x*p1.x-p2.x*p2.x+p1.y*p1.y-p2.y*p2.y)) / (p2.y-p1.y);

 30    //    double t2 = 2.0*(p3.x-p1.x)-(2*(p3.y-p1.y)*(p2.x-p1.x)) / (p2.y-p1.y);

 31         double  t1 = (p2.x*p2.x-p1.x*p1.x+p2.y*p2.y-p1.y*p1.y) *(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x*p3.x-p1.x*p1.x+p3.y*p3.y-p1.y*p1.y);

 32         double t2 = 2.0*((p3.y-p1.y)*(p2.x-p1.x) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x));

 33        p.x = t1 / t2;

 34        p.y = (p2.x*p2.x-p1.x*p1.x+p2.y*p2.y-p1.y*p1.y-2*(p2.x-p1.x)*p.x) / (2*(p2.y-p1.y));

 35     }

 36     else

 37     {

 38         p.x = (p2.x*p2.x-p1.x*p1.x+p2.y*p2.y-p1.y*p1.y) / (2*(p2.x-p1.x));

 39         p.y = (p3.x*p3.x-p1.x*p1.x+p3.y*p3.y-p1.y*p1.y-2*(p3.x-p1.x)*p.x) / (2*(p3.y-p1.y));

 40     }

 41     return p;

 42 }

 43 double dis(Point a,Point b)

 44 {

 45     return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));

 46 }

 47 double mult_ca(Point p1,Point p2)   //叉乘

 48 {

 49     return p1.x * p2.y - p2.x * p1.y;

 50 }

 51 

 52 double get_ans(Point pc,Point pp,Point p1,Point p2,Point p3)

 53 {

 54     double temp = mult_ca(p2-p1,p3-p1);

 55     double f1 = atan2((p1-pc).x,(p1-pc).y);

 56     double f2 = atan2((p3-pc).x,(p3-pc).y);

 57     double f3 = atan2((p2-pc).x,(p2-pc).y);

 58     double f4 = atan2((pp-pc).x,(pp-pc).y);

 59     double ans1 = fabs(dis(pp,pc)-dis(p1,pc));

 60     double ans2 = min(dis(pp,p1),dis(pp,p3));

 61     if(temp < 0)    //顺时针给点

 62     {

 63         if(f1 < f2)      //判断区间方向，这样有利于判断p点和p2点是不是在同一个区间

 64         {

 65             if((f3 >= f1 && f3 <= f2) == (f4 >= f1 && f4 <= f2) ) return ans1;

 66             else return ans2;

 67         }

 68         else

 69         {

 70             if((f3 >= f2 && f3 <= f1) == (f4 >=f2 && f4 <= f1) ) return ans1;

 71             else return ans2;

 72         }

 73     }

 74     else

 75     {

 76         if(f2 < f1)

 77         {

 78             if((f3 >= f2 && f3 <= f1) == (f4 >= f2 && f4 <= f1) ) return ans1;

 79             else return ans2;

 80         }

 81         else

 82         {

 83             if((f3 >= f1 && f3 <= f2) == (f4 >= f1 && f4 <= f2)) return ans1;

 84             else return ans2;

 85         }

 86     }

 87 }

 88 

 89 int main()

 90 {

 91   //   freopen("in","r",stdin);

 92     int kase = 1;

 93     while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&p1.x,&p1.y,&p2.x,&p2.y,&p3.x,&p3.y,&pp.x,&pp.y)!=EOF)

 94     {

 95         pc = get_pc1(p1,p2,p3);

 96         double ans = get_ans(pc,pp,p1,p2,p3);

 97         printf("Case %d: %.3lf\n",kase++,ans);

 98     }

 99     return 0;

100 }

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官方标程：

 1 // Rujia Liu

 2 #include<cmath>

 3 #include<cstdio>

 4 #include<iostream>

 5 

 6 using namespace std;

 7 

 8 const double PI = acos(-1.0);

 9 const double TWO_PI = 2 * PI;

10 const double eps = 1e-6;

11 

12 inline double NormalizeAngle(double rad, double center = PI) {

13   return rad - TWO_PI * floor((rad + PI - center) / TWO_PI);

14 }

15 

16 inline int dcmp(double x) {

17   if(fabs(x) < eps) return 0; else return x < 0 ? -1 : 1;

18 }

19 

20 struct Point {

21   double x, y;

22   Point(double x=0, double y=0):x(x),y(y) { }

23 };

24 

25 typedef Point Vector;

26 

27 inline Vector operator + (Vector A, Vector B) { return Vector(A.x+B.x, A.y+B.y); }

28 inline Vector operator - (Point A, Point B) { return Vector(A.x-B.x, A.y-B.y); }

29 

30 inline double Dot(Vector A, Vector B) { return A.x*B.x + A.y*B.y; }

31 inline double Cross(Vector A, Vector B) { return A.x*B.y - A.y*B.x; }

32 inline double Length(Vector A) { return sqrt(Dot(A, A)); }

33 

34 // 外接圆圆心。假定三点不共线

35 Point get_circumscribed_center(Point p1, Point p2, Point p3) {

36   double bx = p2.x - p1.x;

37   double by = p2.y - p1.y;

38   double cx = p3.x - p1.x;

39   double cy = p3.y - p1.y;

40   double d = 2 * (bx * cy - by * cx);

41   Point p;

42   p.x = (cy * (bx * bx + by * by) - by * (cx * cx + cy * cy)) / d + p1.x;

43   p.y = (bx * (cx * cx + cy * cy) - cx * (bx * bx + by * by)) / d + p1.y;

44   return p;

45 }

46 

47 double DistanceToArc(Point a, Point start, Point mid, Point end) {

48   Point p = get_circumscribed_center(start, mid, end);

49   bool CCW = dcmp(Cross(mid - start, end - start)) > 0;

50   double ang_start = atan2(start.y-p.y, start.x-p.x);

51   double ang_end = atan2(end.y-p.y, end.x-p.x);

52   double r = Length(p - start);

53   double ang = atan2(a.y-p.y, a.x-p.x);

54   bool inside;

55   if(CCW) {

56     inside = NormalizeAngle(ang - ang_start) < NormalizeAngle(ang_end - ang_start);

57   } else {

58     inside = NormalizeAngle(ang - ang_end) < NormalizeAngle(ang_start - ang_end);

59   }

60   if(inside) {

61     return fabs(r - Length(p - a));

62   }

63   return min(Length(a - start), Length(a - end));

64 }

65 

66 int main() {

67   int kase = 0;

68   double x1, y1, x2, y2, x3, y3, xp, yp;

69   while(cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3 >> xp >> yp) {

70     double ans = DistanceToArc(Point(xp,yp), Point(x1,y1), Point(x2,y2), Point(x3,y3));

71     printf("Case %d: %.3lf\n", ++kase, ans);

72   }

73   return 0;

74 }

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