范畴论学习阶段性小结

2021.07.28 补充 Seven Sketches 二刷心得

Not going to write yet another intro to category theory，就总结下我个人在这个领域探索中获得的一些直觉。

最近两年业余在meetup上跟了一个范畴论的读书小组，几本书进度如下

• Spivak & Fong - Seven Sketches in Compositionality

  • 一刷，读完Chapter 2似懂非懂，drop了

  • 原本是想通过Chapter 2对测度空间metric space的范畴化categorification方法，去理解动土距离Earth mover's distance，并连接到意识学consciousness study中Tononi's Integrated Information Theory (一种以对意识状态的复杂度的测量法为开端的意识学体系化尝试)。遇到理解上的困难后，感觉这本书并不适合系统性地入门范畴论

• William Lawvere - Conceptual Mathematics

  • 比较完整地读到了Section 31，并尝试解答了所有习题，遗憾没有做电子化（本书不附带答案）。Section 32进入topos theory领域（当时并不知道），难度陡增，暂时止步于此

  • 个人特色很强的一本，不是很formal但正因如此即使没有很强的数学背景也容易上手，从集合论开始把集合论中的一些构造逐渐用范畴论中更普适的构造替代/中介，可操作性比较强读的时候就比较有参与感，其间夹杂Lawvere的一些哲学思考也很有趣，最后进入范畴逻辑学categorial logic，可惜我们能力不济吃不下，只能再从别的材料迂回

• Steven Awodey - Category Theory

  • 印象不深，Chapter 1算复习，Chapter 2应该就drop了

  • Awodey跟Lawvere一样是领域中大佬，牵头同伦类型学homotopy type theory的。这本就相当formal，举例也不再局限于集合论，而是群论group theory、类型论type theory、拓扑学topology各种，对读者的抽象代数要求就比较高了，读他的Homotopy Type Theory的textbook前可以先读这个。其实只要读过一本formal的，不论哪个作者，只要通了，再回来读其他作者的就大同小异了，至少范畴论直接相关的内容是

• David Spivak - Category Theory for the Science

  • 前几章又是复习，粗略地读到Chapter 5应该，组员不都是编程背景，所以后期干劲不足，drop

  • 跟第一本是一个作者，风格也类似，如果Seven Sketches是为范畴化的网络理论network theory作铺垫，那这本是为范畴化的关系型数据库理论relational database theory作铺垫。写的应该不差，但印象不深，数据库的形式化构造要到重读Seven Sketches才真正理解

• Steven Roman - An Introduction to the Language of Category Theory

  • 算第二本比较完整地读下来的

  • 跟Awodey那本类似，formal，但这本的写作跟我的波长比较合拍（跟其他组员好像并不，所以后期我扛大旗），讲得非常细致，有Lawvere那本的基础的话，只要花时间下去应该能啃下来，算是系统性地理解了低阶范畴论中的核心构造（universal mapping property, natural transformation, comma/slice category, limit/colimit, Yoneda lemma, adjunction, etc.)

• Tom Leinster - Basic Category Theory

  • 头两章复习，读到Chapter 4就drop了吧，大概是上一本读了很长时间formal的，紧接着再读一本就缺乏干劲，需要一些更贴近实际的应用或者目的来联系自身的现实经验，不然单纯地繁复化自己的符号系统而缺乏生存意义上的根植，就像在搭沙塔一样，需要大量的能量去维系，而一旦停歇就会轰然倒塌，可以类比健身房肌肉。于是其间就找了一些其他书来扩充联结，同时把重心移到类型论type theory和homotopy type theory的学习上去了

    • Francisco J. Varela - Principles of Biological Autonomy （复杂系统complex system、自复制autopoiesis、自组织self-organizing、黑格尔辩证法Hegalian dialetics）

    • Memory Evolutive Systems: Hierarchy, Emergence, Cognition （自调节self-regulating，认识结构cognitive structure）

    • Cool Math for Hot Music: A First Introduction to Mathematics for Music Theorists

    • G. Spencer Brown - Laws of Form

    • Marvin Minsky, Seymour Papert - Perceptrons: An introduction to computational geometry

  • 对本书的内容就不多置评了（半途而废没资格逼逼）。meetup上还有一个德国的组Applied Category Theory Munich把这本坚持下来了，回头可以取取经

• Spivak & Fong - Seven Sketches in Compositionality

  • 二刷，干到Chapter 6，快完结了
  • 比较unconventional的一本，一般范畴论初阶教材都不提monoidal category，而这本是围绕其展开的，所以作为入门还是不推荐这本，有一定基础以后再读。前面也提及了，这本是为进入John Baez的范畴化网络理论的研究打基础的，定义和举例都侧重这个学术方向的必要，要深入理解范畴论中的抽象构造还是得选一本formal的，这本偏应用applied。
  • 本书以范畴论代数的视角提供了一种人类图示diagrammatic想象力imagination的分类学classification: sequence (category), series–parallel directed acyclic graph ((symmetric) monoidal category), directed graph with feedback loop (compact closed (symmetric) monoidal category), hypergraph (cospan category), hierarchical graph (operad). 不同层级对应不同的表征能力expressiveness，也对应不同的工程图应用，到hypergraph就类似思维导图或概念网络了。
  • 图示化的线性代数diagrammatic linear algebra在量子力学中有应用，比如Bob Coecke & Aleks Kissinger- Picturing Quantom Processes这本，之前读了一半，现在可以考虑再拾回来。
  • Chapter 5开始触及functorial semantics，最后一章导向topos theory

to be continued

• limit/colimit ~ concept

• adjunction (preservation of limit/colimit) ~ communication of concept