POJ 2409 Let it Bead(polay计数)

题目链接：http://poj.org/problem?id=2409

题意：给出一个长度为m的项链，每个珠子可以用n种颜色涂色。翻转和旋转后相同的算作一种。有多少种不同的项链？

思路：

（1）

对于Burnside引理，G为所有置换集合，|G|为所有置换个数，gi为第i种置换，D(gi)为在第i种置换下保持不动的元素个数。

对于Polay定理，G为所有置换集合，|G|为所有置换个数，gi为第i种置换，n为颜色的种类，c(gi)为第i种置换的循环节个数。

（2）对于Polay，一般解题步骤：确定循环群；计算每种循环下的循环节个数。

对于本题，旋转可以分为旋转i=0,1,2，……m-1个，循环节个数为Gcd(m,i)。对于翻转，若m为奇数，只有通过一顶点和其对边中点的轴翻转，循环节m/2+1；对于m为偶数，两种翻转的轴，第一是两个顶点的连线，循环节m/2+1，第二是对边中点的连线,循环节m/2。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <map>


#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)>=0?(x):-(x))
#define i64 long long
#define u32 unsigned int
#define u64 unsigned long long
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define CLR(x) x.clear()
#define ph(x) push(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define Len(x) x.length()
#define SZ(x) x.size()
#define PI acos(-1.0)
#define sqr(x) ((x)*(x))


#define FOR0(i,x) for(i=0;i<x;i++)
#define FOR1(i,x) for(i=1;i<=x;i++)
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define FORL0(i,a) for(i=a;i>=0;i--)
#define FORL1(i,a) for(i=a;i>=1;i--)
#define FORL(i,a,b)for(i=a;i>=b;i--)

#define rush() int CC;for(scanf("%d",&CC);CC--;)
#define Rush(n)  while(scanf("%d",&n)!=-1)
using namespace std;

void RD(int &x){scanf("%d",&x);}
void RD(i64 &x){scanf("%I64d",&x);}
void RD(u64 &x){scanf("%I64u",&x);}
void RD(u32 &x){scanf("%u",&x);}
void RD(double &x){scanf("%lf",&x);}
void RD(int &x,int &y){scanf("%d%d",&x,&y);}
void RD(i64 &x,i64 &y){scanf("%I64d%I64d",&x,&y);}
void RD(u32 &x,u32 &y){scanf("%u%u",&x,&y);}
void RD(double &x,double &y){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
void RD(int &x,int &y,int &z){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);}
void RD(i64 &x,i64 &y,i64 &z){scanf("%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&z);}
void RD(u32 &x,u32 &y,u32 &z){scanf("%u%u%u",&x,&y,&z);}
void RD(double &x,double &y,double &z){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);}
void RD(char &x){x=getchar();}
void RD(char *s){scanf("%s",s);}
void RD(string &s){cin>>s;}


void PR(int x) {printf("%d\n",x);}
void PR(int x,int y) {printf("%d %d\n",x,y);}
void PR(i64 x) {printf("%lld\n",x);}
void PR(u32 x) {printf("%u\n",x);}
void PR(u64 x) {printf("%I64u\n",x);}
void PR(double x) {printf("%.10lf\n",x);}
void PR(char x) {printf("%c\n",x);}
void PR(char *x) {printf("%s\n",x);}
void PR(string x) {cout<<x<<endl;}


const i64 inf=((i64)1)<<60;
const int mod=10007;
const double dinf=1e50;
const int INF=1000000000;
const int N=55;

int n,m;

int Gcd(int x,int y)
{
    if(!y) return x;
    return Gcd(y,x%y);
}


int Pow(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans*=x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    Rush(n)
    {
        RD(m);
        if(!n&&!m) break;
        int ans=0,i;
        FOR0(i,m) ans+=Pow(n,Gcd(m,i));
        if(m&1) ans+=m*Pow(n,m/2+1);
        else ans+=m/2*Pow(n,m/2)+m/2*Pow(n,m/2+1);
        ans/=(2*m);
        PR(ans);
    }
    return 0;
}