群论与量子力学中的对称

  平面图形的对称有双侧、旋转、平移、滑动及他们的组合，某些正多面体构成的旋转群。这些相对好理解。不过，对称概念可以应用于除几何图形外的其他对象。通过群对自身的作用（群元素对群本身的合成法则）得到的置换群，本身是自同构（保持运算不变的双射）的，这就是抽象的对称。

    一个圆绕其圆心旋转具有不变性，一次旋转作为一个“元素”，连续两次旋转称为一个“乘法”，（旋转，连续两次旋转）就构成了一个圆群，可以验证其满足了群四点。单位元在笛卡尔坐标中通过利用参数方程表示的内容通过欧拉公式可以在复平面上表示为 .在此 可以认为从横轴逆时针旋转了 。又旋转了 后，可以把连续两次旋转表示为 ，这也就是该群的合成法则。从另一个角度来看，通过 ，其他群元通过合成法则后可以用 来表示。其中 为虚数单位。

  有趣的内容来了。狄拉克方程中有 ，物理学中 对称 = 守恒 （作用量）是一个极其重要的存在，如经典力学中有表示连续对称的 时间平移不变性（能量守恒）；空间平移不变性（动量守恒）等。量子力学中有表示分离对称性的 空间对称性（P）： 对空间性质进行变换所对应的对称性等。然而狄拉克方程中，拉格朗日量却不具备对称量！在数学上，为了让一个代数系统具备某些 有趣的性质，如对运算保持封闭性，可能需要对其中的集合做限制，增加或减少某些元素。秉承同样的理念，在狄拉克方程中也添加一个作用量让方程具备了对称性。进入物理解释，就是导入了光子作为电磁力的媒介粒子。还可以把同样的操作应用于更复杂的特殊酉群，在标准模型下就导出了强力和弱力，还有人在寻找能描述引力的对称。李群和量子力学的深刻关系让人感叹演绎的数学和归纳的物理在内在的深刻联系。

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宇宙的基础是对称：群论在物理的应用 https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMjAzNzA1MA==&mid=2247492018&idx=1&sn=706c9a5063faf429152af7a74775bd2b