等比数列的模型应用

        这个月我们数学必修五课本学了数列，其中等差数列比较简单，等比数列与现实生活中许多东西联系较为密切。所以我今天重点讲述等比数列应用。本期里面的计算多数用到计算器，因为带小数的高次乘方计算量巨巨大。

人口增减预测模型

        生物上我们也讲过，生物的增长模型有一段可以用指数函数表示，而等比数列可以看成定义域为正整数的指数函数。

      我们知道，雌性个体和雄性个体交配产生后代，此物种要想一直保持增长型或稳定型，那么每对配偶至少繁殖两个个体（不考虑疾病、意外死亡等因素）才能保证。

        同样，对人类也是，国际上平均每对夫妻要生育2.2个孩子才能保证世代更替平衡，人口不减少。生育率为平均每两个人生育的后代，单位可取：%，而每过一代人，人口与上一代之比等于当代人的生育率与2.2之比，若以30年为一代，A0为当年人口，那么经过n年人口数目可以表示为：An＝A0*（生育率/2.2）^(n/30）

    这几年，我们国家人口出生率一路下滑，甚至在上海出现了几天全城无人生孩子、出生率减少为百分之一的现象，2020年全国平均生育率1.3，今年可能要跌至1.1甚至1，也就是每过一代人，人口要锐减一半，也就是2050年中国人口剩下7亿左右，下世纪2100跌破3亿至以下（这还是生育率不变情况下，实际上生育率降为0.9以下时，这个等比数列的公比会更小，可能每隔20年都要减半一次，比如韩国）

利滚利预测

        我们知道，有些非正规地方的贷款为了更多的赚钱，实行利滚利模式，也就是连同本金和涨的利息算入下一年的利息增长里面，这就可以用等比数列来模拟。

        比如一个地方贷款日利率为0.1%，那么100天后利本约比为10.51%，也就是贷款10万，大概利息10512元左右。

        这还是利率不变情况，有些地方，每隔10天，利率也会翻倍一次，也就是过10天，利率会涨到0.2%，再过10天变成0.4%，随后0.8%、1.6%、3.2%……大概50天后利息就会超过3.6万，随后利息极速增长，第62天利息超过本金，利本总额达到21.11万以上，80天后欠债总额过百万。计算为：本金*1.001^10*1.002^10*1.004^10*1.008^10………而且已还的本金还要计算入第二天的利息里，除非全部还完。除此之外，还有一些地方会实行利息先付制度，让你本金偿还不到位，还钱更慢。

十二平均律

        在近现代，一些音乐、数学家，为了调音方便，普遍实行十二平均律，把一个八度音程分成12个小音，理解上为选择一个基音，向右数到第12个音（黑白键全算上），就是高八度，波长变为1/2（声波是机械波，波长用的不多），频率变为2倍。

        下面就是数学问题了。古代人只用算盘就算出了2开12次根号，即为每一个音频率与前一个音比值，约等于1.059，这个数的12次方就是2。计算音阶频率公式为：f'＝f*2^（n/12），向右为正，向左为负，当n＝5时，相当于+5key（转为F调），f’≈1.335f，很接近古代的4/3的完美音律。同样，升7key（G调），f'≈1.498，接近3/2的比值，由于是等比数列，每隔一个音作商，比值仍不变，且与初始音无关。

        比如国际标准音A4（中音la）＝440Hz，那么A3（低音la）就是220Hz，+1key是A#3，频率≈233Hz，从A3开始向右数7个音，就是E4，频率约为329.6Hz。比如我们要知道超声波对应的音高，首先20000Hz，计算与A4的比值，再不断除以2，直到得数小于2为止，通过计算除以32（2的5次方，五个八度）得到≈1.42，再与十二平均律对比，与2^（6/12）＝根号2接近，那么2wHz大概是A9再升6key为D#10（虽然是钢琴最右边以外的音，但是仍然能计算）

       

      太长时间没有更新，今天就更新一期数学问题，等比数列的问题今天我就聊到这里，下次我们再聊。