“两位数减一位数的退位减法”的学习路径笔记

三、分析学习路径

在学习“36—8”的退位减法中，为什么学生思维中出现“拆分后先减再合并”的算法，却不能自发成呈现“拆分后先合并再减”的基础算法呢？是什么原因制约了学生自发迁移的思维呢？如果促发学生自主迁移呢？

关于“36—8”的算理，教学用书中的教学建议是“动手操作”，建立“退位”的直观表象，理解退位减法的算理”在教学中，引导学生在摆小棒的过程中去发现“基本算法”的算理，即“两位数减一位数的退位减法，当个位上不够减时，用十位上的1当10并和个位上的数合并再一起再减”，以此引导学生依据动作表象获取两位数减一位数退位减法的计算方法。然而在实际的教学中，无论是“先摆后算”还是“先算后摆”，学生都较少地想到“先合并再减”的方法。

“先摆后算”即从36根小棒中拿走8根，要么是“先拿走6根，再从1捆中拿走2根”要么是“从1捆中拿走8根再把剩下的全部合并起来”。

“先算后摆”的方法，由于学生缺乏“16—8”的想法，在操作中仅仅停留在“被动执行”的层面，并没有内化为学生的思维。而与“36—8”的退位原理相对应的外化操作是“打开一捆，再把10根和剩余的6根合并再一起是16根，再从16根中拿走8根”，这种“化简为繁”的操作行为即不现实又不具备实际操作的价值。因此借助“直观操作”并不能为学生理解“先合并再减”提供表象。

根据前测对学生起点的分析，学生要真正理解35—8基本算理，需要达成以下几点：一是激活学生已有的“退位”减法经验；二是借助小棒说明算理；三是对方法进行优化；四是内化算法、理解算理。

已有文献的研究，一般的路径：一是先让学生探索算法，通过先算后摆或者先摆后算来理解算理，然后由老师引出“基本算法”，并通过小棒和流程图演示讲解算法；二是将36拆分成20和16，利用“16—8”的旧知来解决36—8的退位问题，需要设计一定情境，重新唤起学生对20以内退位减法的感知，以加强新旧知识的联系。

以上路径都割裂了不同算法之间的联系，先入为主地将“基本算法”“教”给学生，学生缺乏深入理解过程。

通过分析我们确定如下学生路径：（1）让学生自主探索出两位数减一位数的算法；（2）结合小棒直观操作说明算理；（3）借助小棒图引导学生通过比较，发现不同算法之间的本质联系；（4）打通直观操作、算法图、抽象横式之间的联系，内化形成算法，理解算理。在这一学习路径的四个步骤中，第一步和第二步是引导学生理解“破十法”和“连减法”的算理，即理解“退位”的算理。第三步是引导学生结合直观图在比较中发现前两种算法的本质，说明基本算法是对前两种方法的概括和说理。第四步是理解基本算法的算理后，内化和形成算法。这里的每一步对理解“基本算法”的算理都是直观重要的。