多元线性方程整数解的计数
[TOC]
问题描述
统计
的非负整数解的个数。列出这些解。
枚举
静态地看，的范围容易确定，。各个范围的笛卡尔积是答案的范围，其中的元素记为。将每个带入方程验证，即可筛选出解。
from itertools import product
def cc(s, a):
def p(x):
return sum([x * a for x, a in zip(x, a)])
return [x for x in product(*[range(s // ai + 1) for ai in a]) if p(x) == s]
递归
如果将决定中每个看作一个动态的过程，则已决定的对未决定的的范围有影响。我们可以沿着两个方向减小问题的规模，分别是
- 减小变量的个数
- 减小
def cr(s, a):
def r(s, a, x):
if s == 0:
xs.append(tuple(x))
elif s > 0 and len(a) != 0:
x = list(x)
r(s, a[:-1], x) # 减小变量个数
x = list(x)
x[len(a) - 1] += 1
r(s - a[-1], a, x) # 减小S
xs = []
r(s, a, [0] * len(a))
return xs
代码中x就是中的某个.
对比
将递归树叶子节点的个数作为递归的复杂度，与枚举法的中元素个数做对比，发现枚举空间的大小大约是递归空间大小的40倍。运行时间的比值也接近40。
附录
jupyter notebook 完整实验代码：
from itertools import *
l = 0
def cc(s, a):
global l
def p(x):
return sum([x * a for x, a in zip(x, a)])
l = len([x for x in product(*[range(s // ai + 1) for ai in a])])
return [x for x in product(*[range(s // ai + 1) for ai in a]) if p(x) == s]
x1 = cc(100, [1, 5, 10, 25, 50])
cnt = 0
def cr(s, a):
def r(s, a, x):
global cnt
if s == 0:
xs.append(tuple(x))
cnt += 1
elif s > 0 and len(a) != 0:
x = list(x)
r(s, a[:-1], x)
x = list(x)
x[len(a) - 1] += 1
r(s - a[-1], a, x)
else:
cnt += 1
xs = []
r(s, a, [0] * len(a))
return xs
x2 = cr(100, [1, 5, 10, 25, 50])
set(x1) == set(x2)
x1 == x2
l / cnt
%timeit cc(100, [1, 5, 10, 25, 50])
%timeit cr(100, [1, 5, 10, 25, 50])