数学建模的三大模型和十大常用算法

一、三大模型

预测模型

神经网络预测、灰色预测、拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic模型等等。

应用领域：人口预测、水资源污染增长预测、病毒蔓延预测、竞赛获胜概率预测、月收入预测、销量预测、经济发展情况预测等在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。

优化模型

规划模型（目标规划、线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划）、图论模型、排队论模型、神经网络模型、现代优化算法（遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法）等等。

应用领域：快递员派送快递的最短路径问题、水资源调度优化问题、高速路口收费站问题、军事行动避空侦察的时机和路线选择、物流选址问题、商区布局规划等各个领域。

模拟退火算法——材料统计力学研究成果，包含两个部分，即Metropolis算法和退火过程，旨在寻找局部最优解。当下一个解比上一个解函数值小，则接受此解；当下一个解比上一个解大，则以一定概率接受此解。（解空间-目标函数-新解的产生-代价函数差-接受准则-降温-结束条件）

遗传算法——模拟的是自然界中的生命进化机制，通过群体搜索技术，根据适者生存的原则逐代进化，最终得到最优解或准最优解。思路：初始群体的产生-求每一个体适应度-根据适者生存原则选择优良个体-被选出的优良个体两两配对-随机交叉和随机变异产生下一代群体（编码策略-初始种群-目标函数-变异操作-选择）

改进遗传算法——对遗传算法进行改进，将变异操作从交叉操作中分离出来，使其成为独立的并列于交叉的寻优操作。

禁忌搜索算法——是一种迭代搜索算法，靠记忆来引导算法的搜索过程。禁忌搜索算法的特点是采用了禁忌技术，所谓禁忌就是禁止重复前面的工作。禁忌搜索算法用一个禁忌表记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点。其在领域搜索的基础上，通过禁忌准则来避免重复搜索，通过藐视准则来赦免一些被禁忌的优良状态，以实现全局优化。①局部领域搜索（基于贪婪准则）->②禁忌搜索（建立禁忌表，避免重复访问）->③蔑视准则（不错过最优解）

蚁群算法——用以寻找最优化路径的概率性算法，是一种模拟进化算法。

评价模型

模糊综合评价法、层次分析法、聚类分析法、主成分分析评价法、灰色综合评价法、人工神经网络评价法等等。

应用领域:某区域水资源评价、水利工程项目风险评价、城市发展程度评价、足球教练评价、篮球队评价、水生态评价、大坝安全评价、边坡稳定性评价

1 聚类分析(Cluster Analysis）——对多个样本或指标进行定量分类的一种多元统计分析方法。对样本进行分类叫Q型聚类分析，对指标进行分类称为R型聚类分析。

2 主成分分析（Principle Component Analysis）——主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。实质上，是一种降维方法。

3 主成分回归分析——是为了克服最小二乘（LS）估计在数据矩阵A存在多重共线性时表现出的不稳定性而提出的。

4 因子分析（Factor Analysis）——通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。

5 判别分析（Discriminant Analysis）——根据所研究的个体观测指标来推断该个体所属类型的一种统计方法。常见方法有距离判别、Fisher判别、Bayes判别。

6 典型相关分析（Canonical Correlation Analysis）

7 对应分析（Correspondence Analysis）——是在R型和Q型引自分析基础上发展起来的多元统计分析方法，又称为R-Q型因子分析。

8 多维标度法

9 非度量方法

理想解法（TOPSIS）——有效的多指标评价方法，通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度，即靠近正理想解和负理想解的程度，来对方案进行排序，进而选出最优方案。

模糊综合评价法（Fuzzy Comprehensive Evaluation Method）

数据包络分析（Data Envelopement Analysis)——评价具有多指标输入和多指标输出系统的较为有效的方法。其最突出的优点是无须任何权重假设，权重不由评价者主观认定，而是由决策单元的实际数据求得的最优权重，故排除了主观因素，具有很强的客观性。

灰色关联分析法（Grey Relational Analysis）

主成分分析法（Principal Component Analysis）

秩和比综合评价法（Rank Sum Ration）——在一个n行m列矩阵中，通过秩转换，获得无量纲统计量RSR，以RSR值对评价对象的优劣直接排序或分档排序，从而对评价对象做出综合评价。

基于熵权法的评价方法——一种客观的赋权方法，根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，从而得出较为客观的指标权重。

PageRank算法——Google搜索引擎对检索结果的一种排序算法

二、十大常用算法

1 蒙特卡罗算法

该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。

蒙特卡洛算法——基于对大量事件的统计结果来实现一些确定性问题的计算。使用它必须使用计算机生成相关分布的随机数。

2 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

旨在构造一个简单的函数作为考查数据或复杂函数的近似。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。 

3 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。

4 图论算法

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备

5 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

6 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7 网格算法和穷举法

网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8 一些连续离散化方法

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9 数值分析算法

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10 图象处理算法

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。