CALCULUS 2

三维空间

xyz轴将空间分为八个部分。

xyz轴各自有单位向量，可以用来作为基底表示空间中任意一个点的位置或者向量。

空间中向量加法，减法，数乘，求两点距离。

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点乘

ABcos，得到一个数值。Bcos几何上为B在A上的投影带正负号。

点乘的坐标运算。

两个互相垂直的向量，点乘为零。

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叉乘

ABsin，得到一个垂直于AB平面的向量，

方向由右手法则决定(A在前面所以手掌顺着A)，大小为平行四边形的面积。

叉乘的坐标运算！矩阵！ijk，j对应的是负号。

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平行六面体体积

底面组成平行四边形的两个向量AB先叉乘，再和另一条棱C点乘

坐标运算法，矩阵abc

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求单位向量

某向量除以他本身的长度（模）。

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向量的表示

PP0右边坐标减去左边坐标

知道某一个向量(x,y,z)，过一个点（x1,y1,z1），平行于另一个向量(a,b,c)

注：这个点可能是在某条曲线上，满足某个方程，可以作为条件使用

参数写法x=x1+a * t

              y  =y1 + b * t

              z = z1 + c * t

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三维空间中的平面的

知道平面上一点A(a,b,c)，和垂直于该平面的向量N(n1.n2,n3)。求平面上的点的方程B（x,y,z）

该平面写作：n1* (x–a) + n2 * (y  - b) + n3 *(z - c) = 0

原理是：AB垂直于N，点乘为0

特殊平面

平行于xy平面： Z  = c（常数）

平行于yz平面： X  = c（常数）

平行于xz平面： Y  = c（常数）

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曲面：某条直线沿着特定轨迹移动而成

曲面f(x,y)=0

说明产生器是平行于z轴的。没有z说明对于z没有限制，取任何值都可以，和z=f(x,y)是不一样的。

例子：z  = x^2  说明generator是平行于y轴的。

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旋转面：某条轨迹绕轴旋转而成

如果轨迹在xy平面，那只能绕x轴或者y轴

求旋转而成的曲面方程

轨迹                      旋转轴                     方程

f(x,y) = 0                x                        f(x,+-sqrt(y^2 + z^2)) = 0

                               y                       f(+-sqrt(x^2 + z^2),y) = 0

以此类推

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利用等高线作图

将xyz 中的一个看作常数，看能否化为可以作图的形式

例子： x^2 + 1/9 * y^2  - z^2 = 1

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三维空间极坐标(r, theta,z)

x = r * cos(theta)

y = r * sin(theta)

z = z

r是点在xy平面上的垂足，到原点的距离

theta是在xy平面上的垂足与原点连线，连线与x轴的夹角

z是这个点的高度

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三维空间球坐标

x = p . sin(fi) * cos(theta) = r * cos(theta)

y = p * sin(fi) * sin(theta)

z  = p * cos(fi）

r  =  p * sin(fi)

p = x^2 + y^2 +z^2

p是点到原点的距离

fi 是点与原点的连线，连线与z轴正半轴的夹角

theta 是点到xy平面的垂足，垂足与原点的连线，连线与x轴的夹角

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偏微分

极限定义： 一个函数f(x,y)包含xy两个变量，控制其中一个不变，看另外一个变化的量无限接近于0时，函数值的变化量是多少

几何定义：（投影得到的曲线的切线斜率）

z = f(x.y)是一个曲面，有切面；（曲线对应切线，曲面对应切面）

如果将x 看作常数，那么z = f(x,y)变为一条曲线，投影在yz平面一条曲线，可以求出对应的切线斜率。（在不同的常数x，投影得到的曲线会不同，在不同的变量y，切线的斜率取值会不同）；这个斜率就是偏导数的值。

以此类推

高阶偏微分

求导顺序对结果没有影响

求曲面z  = f(x,y)上一点（x0,y0,z0）的切面方程

z - z0 = fx(x0)* (x- x0）+ fy(y0)*(y - y0)

类比求曲线y = f(x)上一点（x0,y0）的切线方程

y - y0 = fx(x0) *（x-x0）

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线性估值

在二维上，A点的斜率很好计算，B点和A 点接近，则可以利用A的斜率和AB横坐标的距离去计算B的函数值。

从A 到B 的变化记为灯塔，灯塔y值 =灯塔x值 * A 点的斜率

在三维上z = f(x,y)，x1 ，y1 的偏导数都不如x1,y1处更加方便计算，而且彼此接近。

灯塔z = 灯塔x * x1偏导 + 灯塔y * （y1偏导）

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链式法则

作图法

（因变量- 中间变量-自变量）

（因变量- 自变量）

小技巧：标出函数名 + 标出视为参数的变量名称 + 要把中间变量的式子展开

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梯度

z = f(x, y )

z 的梯度 =  （fx, fy）即：由偏导数组成的向量

沿PQ方向移动造成的z的变动： 该移动方向的单位向量 （点乘）梯度（带入起点P处的值）