指数函数：2013年文数全国卷B题21

2013年文数全国卷B题21

已知函数 .

（Ⅰ）求 的极小值和极大值;

（Ⅱ）当曲线 的切线 的斜率为负数时，求 在 轴上截距的取值范围.

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【解答问题Ⅰ】

的定义域为

因为 ，所以

单调递减 ,

单调递增,

单调递减,

, 函数取得极小值

, 函数取得极大值

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【解答问题Ⅱ】

若切线税率为负数，则

切线 的方程为 , 相应的切点坐标为 .

设切线与 轴的交点坐标为 , 则

所以

∵ , ∴

解得：

令 , 则 ,

∵

∴

所以 在 轴上截距的取值范围为 .

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【提炼与提高】

应用导函数讨论函数的单调性，并求极值，是高考中的常规题型。

应用导函数求函数图像的切线方程，也是常规应用。

在求截距的取值范围这一环节，将需要熟练地应用均值不等式（双勾函数）。

本题的特色在于，将几方面的应用综合起来。对于高中生来说，在较短的时间内将几个方面的知识综合起来，并求出正确答案，确实是一项考验。

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