第8天----【位运算进阶之----异或(^)】

今天我们来学习C语言中的异或。

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一、基本知识：

✨在C语言中，异或（XOR）是一种逻辑运算符，用符号^表示。异或操作是将两个操作数的每一位进行比较，如果相同则结果为0，如果不同则结果为1。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

• 例如，假设有两整数变量a和b，其二进制表示分别为：
  a = 1010 , b = 1100
• 执行a ^ b操作后，得到的结果是：
  a ^ b = 0110

✨总结起来，0和任何数异或还是任何数，1和任何数异或则是任何数的取反。

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异或操作满足的定律：(important)

1. 结合律：对于任意三个操作数a、b、c，有(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)。即异或操作在多个操作数之间满足结合律。

2. 交换律：对于任意两个操作数a和b，有a ^ b = b ^ a。即异或操作的顺序可以交换。

3. 自反性：对于任意操作数a，有a ^ a = 0。即一个数与自身进行异或操作的结果为0。

4. 零元素：对于任意操作数a，有a ^ 0 = a。即一个数与0进行异或操作的结果为它本身。

5. 唯一性：对于任意操作数a，有a ^ a = 0，a ^ 0 = a。即一个数与自身进行异或操作的结果为0，与0进行异或操作的结果为它本身。

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二、拓展应用：

1. 交换两个变量的值：

✨可以使用异或操作来交换两个变量的值，而无需使用第三个变量。
例如：

int a = 10;
int b = 20;

a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
// 现在a的值为20，b的值为10

❓可能会有人有疑问，为啥右边都是a^b，但最终的结果就可以交换呢？让我们来一步步分析：

1. 首先，通过a = a ^ b后，a的值将会发生改变，至于变为多少，我们不关心，因为没必要算（实在想算也可以，写出二进制表达后再用定义计算）。
2. 然后，通过b = a ^ b后，因为a的值已经发生了改变，即此式等价于b = a ^ b ^ b = a ^ 0 = a，从而将a的值赋给了b。
3. 最后，a = a ^ b = a ^ b ^ a = a ^ a ^ b = 0 ^ b = b。从而实现两个数值的交换。

✨你是否又想到了排序算法中两个值的交换呢？当时我们是通过定义一个临时变量（中间媒介）来完成两个数的交换，类似下面这种方法：

int temp=a;
a=b;
b=temp;

当然，还有很多交换变量值的方法，我们这里就不展开论述了，以后有机会会进行讲解。

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2. 判断两个数的奇偶性：

✨可以使用异或操作来判断两个数的奇偶性。如果一个数的二进制表示的最后一位为1，则该数为奇数；如果最后一位为0，则该数为偶数(我们上节已经讲过了)。因此，可以使用异或操作来判断两个数的奇偶性。例如：

int num = 10;
int result=num ^ 1
if (result<num) {
    printf("num是奇数");
} else {
    printf("num是偶数");
}

为啥要这样写呢❓

• 如果一个数为奇数，则其的二进制表示的最后一位为1，和1异或后，最后一位变为0，其余位值不变，所以异或的结果小于原数；(小了1)
• 反之，若一个数为偶数，则其的二进制表示的最后一位为0，和1异或后，最后一位变为1，其余位值不变，所以异或的结果大于原数；(大了1)

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3. 检测落单的数(出现奇数次的数)：

✨异或操作可以用来检测数组中是否存在落单的元素。通过对数组中的所有元素进行异或操作，如果结果为0，则表示数组中没有落单的元素；反之则有，且计算结果就是该落单的数。例如：

int arr[] = {1, 2, 1, 3, 4, 3, 2, 1, 1};
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int result = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) {
    result = result ^ arr[i];
}

if (result == 0) {
    printf("数组中没有落单的元素");
} else {
    printf("数组中存在落单的元素,输出如下：");
    printf("%d",result);
}

检测丢失的数:

• 给定范围[a,b]的一系列数，但是一个调皮的数跑丢了，需要你把它找出来，请问该怎么找？
• 答：利用今天学习的异或知识就能轻松解决，即把[a,b]所有的数(b-a+1个)和丢失一个数的那些数(b-a个)放在一堆，然后一起异或，重复的数必定两两相消，剩下的一个数就是那个调皮的数。

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4. 加密和解密：

✨异或操作可以用来进行简单的加密和解密操作。通过将明文和密钥进行异或操作得到密文，再将密文和密钥进行异或操作得到明文。例如：

char plaintext[] = "Hello World";
char key = 'A';
int n = strlen(plaintext);

for (int i = 0; i < n; i++) {
    plaintext[i] = plaintext[i] ^ key;
}

printf("加密后的密文：%s\n", plaintext);

for (int i = 0; i < n; i++) {
    plaintext[i] = plaintext[i] ^ key;
}

printf("解密后的明文：%s\n", plaintext);

哈哈,是不是很有趣呢？

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三、与离散数学中的异或进行对比：

✨离散数学中的异或运算是一种基于布尔代数的运算，也称为逻辑异或运算。它的规则与C语言中的异或运算类似，只不过它的操作对象是逻辑值（真或假）。

• 在离散数学中，异或运算的结果为真（1）的条件是：有且仅有一个操作数为1。如果两个操作数都为1或都为0，则结果为假（0）。

例如，假设有两个命题p和q，它们的真假分别为(p =1，q = 0) 或(p=0,q=1)。那么p ⊕ q的结果为1，因为有且仅有一个操作数为1。
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好了，今天的讲解就到这里了，相信你也是收获满满吧!❤️