零钱兑换-动态规划

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= $2^{31}$ - 1
0 <= amount <= $10^4$

思想来自官方解答：https://leetcode.cn/problems/coin-change/solution/322-ling-qian-dui-huan-by-leetcode-solution/

定义 $F(i)$ 为组成金额 i 所需最少的硬币数量，假设在计算 $F(i)$ 之前，我们已经计算出 $F(0)到F(i-1)$ 的答案。 则 $F(i)$ 对应的转移方程应为

$F(i)=\underset{j=0,...,n-1}{\min }F(i-c_j)+1$

其中 $c_j$ 代表第j 枚硬币的面值，即我们枚举最后一枚硬币的面值 $c_j$ 那么需要从 $i-c_j$ 这个金额状态$F(i-c_j)$ 转移过来，再算上枚举的这枚硬币数量 1 的贡献，由于要硬币数量最少，所以 $F(i)$ 为前面能转移过来的状态的最小值加上枚举的硬币数量 1 。

例子1：假设

coins = [1, 2, 5], amount = 11

则，当 i=0 时无法用硬币组成，为 0 。当 i<0 时，忽略 $F(i)$

我们可以看到问题的答案是通过子问题的最优解得到的。

例子2：假设

coins = [1, 2, 3], amount = 6

class Solution:
    def coinChange(self, coins: list, amount: int) -> int:
        #f数据存放最少硬币数量，f[amount]最大就是amount，也就是全是1的硬币
        #所以用（amount + 1) 初始化
        m = amount + 1
        f = [m] * (amount + 1)
        #设置f[0] 等于 0
        f[0] = 0
        
        for i in range(1, (amount + 1)):
            tmp = [f[i - coins[j]] for j in range(len(coins)) if coins[j] <= i]
            if len(tmp) > 0:
                tmp = min(tmp)
                f[i] = tmp + 1

        if f[-1] > amount:
            return -1
        else:
            return f[-1]


if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.coinChange([1, 2, 5], 11))

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(Sn)$，其中 S 是金额，n 是面额数。我们一共需要计算 $O(S)$ 个状态，S 为题目所给的总金额。对于每个状态，每次需要枚举 n 个面额来转移状态，所以一共需要 $O(Sn)$ 的时间复杂度。
• 空间复杂度：$O(S)$。数组 f 需要开长度为总金额 S 的空间。

于每个状态，每次需要枚举 n 个面额来转移状态，所以一共需要 $O(Sn)$ 的时间复杂度。

• 空间复杂度：$O(S)$。数组 f 需要开长度为总金额 S 的空间。