NOI2017C. 泳池

泳池

题目描述

久莲是个爱玩的女孩子。

暑假终于到了，久莲决定请她的朋友们来游泳，她打算先在她家的私人海滩外圈一块长方形的海域作为游泳场。然而大海里有着各种各样的危险，有些地方水太深，有些地方有带毒的水母出没。她想让圈出来的这一块海域都是安全的。

经过初步分析，这块海域可视为一个底边长为 $N$ 米，高为 $1001$ 米的长方形网格。其中网格的底边对应着她家的私人海滩，每一个 $1\text{m}\times 1\text{m}$ 的小正方形都代表着一个单位海域。她拜托了她爸爸明天去测量每一个小正方形是否安全。在得知了信息之后，她要做的就是圈出她想要的游泳场啦。

她心目中理想的游泳场满足如下三个条件：

• 必须保证安全性。即游泳场中的每一个单位海域都是安全的。
• 必须是矩形。即游泳场必须是整个网格中的一个 $a\times b$ 的子网格。
• 必须和海滩相邻。即游泳场的下边界必须紧贴网格的下边界。

例如：当 $N=5$ 时，若测量的结果如下（因为 $1001$ 太大，这儿只画出网格最下面三行的信息，其他部分都是危险的）。

那么她可以选取最下面一行的 $1\times 4$ 的子海域，也可以选择第三列的 $3\times 1$ 的子海域。注意她不能选取最上面一行的 $1\times 5$ 的子海域，因为它没有与海滩相邻。

为了让朋友们玩的开心，她想让游泳场的面积尽可能的大。因此她会选取最下面那一行的 $1\times 4$ 的子海域作为最终方案。

虽然她要明天才能知道每一个单位海域是否安全，但是她现在就想行动起来估计一下她的游泳场面积有多大。经过简单的估计，她假设每一个单位海域都有独立的 $q$ 的概率是安全的，$1-q$ 的概率是不安全的。她想要知道她能选择的最大的游泳场的面积__恰好__为 $K$ 的概率是多少。

然而久莲对数学并不感兴趣，因此她想让你来帮她计算一下这个数值。

输入格式

输入一行四个正整数 $N,K,x,y$，其中 $1\le x<y<998244353$

输出格式

输出一行一个整数表示答案在模 $998244353$ 意义下的取值。

即设答案化为最简分式后的形式为 ab\frac{a}{b}ba​ ，其中 $a$ 和 $b$ 的互质。输出整数 $x$ 使得 $bx\equiv a\mathrm{mod}998244353$ 且 $0\le x<998244353$。可以证明这样的整数 $x$ 是唯一的。

输入数据 1

10 5 1 2

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输出数据 1

342025319

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数据范围与提示

提示

xp−1≡1(modp)x^{p-1} \equiv 1 \pmod pxp−1≡1(modp)，其中 $p$ 为质数，$x\in [1,p)$。

子任务

测试点编号	$N$	$K$
1,2	$=1$	$\le 1000$
3	$\le 10$	$\le 8$
4		$\le 9$
5		$\le 10$
6	$\le 1000$	$\le 7$
7		$\le 8$
8		$\le 9$
9,10,11		$\le 100$
12,13,14		$\le 1000$
15,16	≤109\leq 10^9≤109	$\le 10$
17,18		$\le 100$
19,20		$\le 1000$

#include

#define For(i,_beg,_end) for(int i=(_beg),i##end=(_end);i<=i##end;++i)
#define Rep(i,_beg,_end) for(int i=(_beg),i##end=(_end);i>=i##end;--i)

template<typename T>T Max(const T &x,const T &y){return x<y?y:x;}
template<typename T>T Min(const T &x,const T &y){return x<y?x:y;}
template<typename T>int chkmax(T &x,const T &y){return x<y?(x=y,1):0;}
template<typename T>int chkmin(T &x,const T &y){return x>y?(x=y,1):0;}
template<typename T>void read(T &x){
	T f=1;char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(x=0;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
	x*=f;
}

typedef long long LL;
const int N=1010,mod=998244353;
int n,m;
LL a,b,p,q,dp[N][N],g[N][N],pw[N];
LL A[N],f[N<<1];

LL power(LL,LL);
LL Solve(int);

int main(){
	read(n);read(m);read(a);read(b);
	p=a*power(b,mod-2)%mod;q=(mod+1-p)%mod;
	pw[0]=1;
	For(i,1,m) pw[i]=pw[i-1]*p%mod;
	
	printf("%lld\n",(Solve(m)-Solve(m-1)+mod)%mod);
	return 0;
}

LL Solve(int k){
	memset(dp,0,sizeof dp);
	memset(g,0,sizeof g);
	For(i,1,k+2) g[0][i]=dp[0][i]=1;
	For(i,1,k) Rep(j,k/i+1,2){
		For(l,1,i) dp[i][j]=(dp[i][j]+g[l-1][j+1]*g[i-l][j]%mod*pw[l-1]%mod*q)%mod;
		g[i][j]=(g[i][j+1]*pw[i]+dp[i][j])%mod;
	}
	memset(A,0,sizeof A);
	For(i,0,k) A[i+1]=q*g[i][2]%mod*pw[i]%mod;
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0]=1;
	For(i,1,k){
		f[i]=g[i][2]*pw[i]%mod;
		For(j,1,i) f[i]=(f[i]+A[j]*f[i-j])%mod;
	}
	k++;
	For(i,k,k<<1) For(j,1,k) f[i]=(f[i]+A[j]*f[i-j])%mod;
	if(n<=k)return f[n];
	int y=n-k,len=1,L=0;
	LL res[N<<2],tmp[N<<2],x[N<<2];
	memset(res,0,sizeof res);
	memset(x,0,sizeof x);
	res[0]=1;x[1]=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1){
			For(i,0,L+len) tmp[i]=0;
			For(i,0,L) For(j,0,len) tmp[i+j]=(tmp[i+j]+res[i]*x[j])%mod;
			L+=len;
			Rep(i,L,k) For(j,1,k) tmp[i-j]=(tmp[i-j]+tmp[i]*A[j])%mod;
			chkmin(L,k-1);
			For(i,0,L) res[i]=tmp[i];
		}
		For(i,0,len+len) tmp[i]=0;
		For(i,0,len) For(j,0,len) tmp[i+j]=(tmp[i+j]+x[i]*x[j])%mod;
		len<<=1;
		Rep(i,len,k) For(j,1,k) tmp[i-j]=(tmp[i-j]+tmp[i]*A[j])%mod;
		chkmin(len,k-1);
		For(i,0,len) x[i]=tmp[i];
	}
	LL ans=0;
	For(i,0,k-1) ans=(ans+res[i]*f[i+k])%mod;
	return ans;
}
LL power(LL x,LL y){
	LL res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) res=res*x%mod;
	return res;
}