【考研数学】线形代数第三章——向量 | 2）向量组相关性与线性表示的性质，向量组的等价、极大线性无关组与秩
文章目录
- 引言
- 二、向量组的相关性与线性表示
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- 2.3 向量组相关性与线性表示的性质
- 三、向量组等价、向量组的极大线性无关组与秩
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- 3.1 基本概念
- 写在最后
引言
承接前文，我们来学习学习向量组相关性与线性表示的相关性质
二、向量组的相关性与线性表示
2.3 向量组相关性与线性表示的性质
性质 1 —— 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关的充分必要条件是向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
证明： 必要性：设向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关，则存在一组不全为零的常数 k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn ，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 , k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=0, k1α1+k2α2+⋯+knαn=0, 不妨设某一不为零的常数为 k 1 k_1 k1 ，即 k 1 ≠ 0 k_1 \ne 0 k1=0 ，则 α 1 = − k 2 k 1 α 2 − ⋯ − k n k 1 α n , \alpha_1=\frac{-k_2}{k_1}\alpha_2-\dots-\frac{k_n}{k_1}\alpha_n, α1=k1−k2α2−⋯−k1knαn, 即向量 α 1 \alpha_1 α1 可由其余向量线性表示。
充分性：设存在常数 l 1 , l 2 , … , l k − 1 , l k + 1 , … , l n l_1,l_2,\dots,l_{k-1},l_{k+1},\dots,l_n l1,l2,…,lk−1,lk+1,…,ln（缺少 l k l_k lk） ，使得 α k = l 1 α 1 + ⋯ + l k − 1 α k − 1 + ⋯ + l n α n \alpha_k=l_1\alpha_1+\dots+l_{k-1}\alpha_{k-1}+\dots+l_n\alpha_n αk=l1α1+⋯+lk−1αk−1+⋯+lnαn 则有： l 1 α 1 + l 2 α 2 + ⋯ + l k − 1 α k − 1 + ( − 1 ) α k + ⋯ + l n α n = 0 l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\dots+l_{k-1}\alpha_{k-1}+\pmb{(-1)\alpha_k}+\dots+l_n\alpha_n=0 l1α1+l2α2+⋯+lk−1αk−1+(−1)αk+⋯+lnαn=0 ，因为存在系数不为 0 ，所以向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关。
1，一个向量线性相关的充要条件是该向量为零向量。
2，两个向量线性相关的充要条件是两个向量成比例。
3，含有零向量的向量组一定线性相关。
性质 2 —— 设向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关，则：
（1）若 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,b 线性相关，则向量 b b b 可由 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 唯一线性表示。
（2） α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,b 线性无关的充要条件是向量 b b b 不可由 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示。
性质 3 —— 若一个向量组线性无关，则该向量组的任何部分向量组都线性无关。
性质 4 —— 若向量组有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关。
性质 5 —— 设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为 n n n 个 n n n 维向量，则 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关的充要条件是 ∣ α 1 , α 2 , … , α n ∣ ≠ 0 |\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}| \ne 0 ∣α1,α2,…,αn∣=0 ，即这些向量构成的行列式不为 0 。
证明： α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关，即对应齐次方程组只有零解，故系数行列式不为 0 。
性质 6 —— 设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为 n n n 个 m m m 维向量，若 m < n m < n m<n ，则向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 必线性相关。
（1）向量组中向量的个数对应齐次线性方程组未知数的个数。向量组中向量的个数越多，齐次线性方程组中未知数的个数越多，其产生自由变量的可能性也越大，从而齐次线性方程组有非零解的可能性增加，即向量线性相关的可能性增加，故增加向量的个数后线性相关的可能性增加。
（2）向量组中向量的维数对应齐次线性方程组方程的个数，维数越多，齐次线性方程组方程的个数越多，只有零解的可能性增加，即向量线性无关的可能性增加，故增加向量的维数后线性无关的可能性增加。
性质 7 —— 设向量组 α 1 ′ , α 2 ′ , … , α n ′ \pmb{\alpha_1',\alpha_2',\dots,\alpha_n'} α1′,α2′,…,αn′ 为向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 的扩充向量组（即添加了维数），若向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关，则向量组 α 1 ′ , α 2 ′ , … , α n ′ \pmb{\alpha_1',\alpha_2',\dots,\alpha_n'} α1′,α2′,…,αn′ 线性无关，反之不对。
反例：如原向量组 α 1 = ( 1 , 0 ) T , α 2 = ( 0 , 1 ) T , α 3 = ( 0 , 0 ) T \pmb{\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T,\alpha_3=(0,0)^T} α1=(1,0)T,α2=(0,1)T,α3=(0,0)T ，扩充后 α 1 ′ = ( 1 , 0 , 0 ) T , α 2 ′ = ( 0 , 1 , 0 ) T , α 3 ′ = ( 0 , 0 , 1 ) T \pmb{\alpha_1'=(1,0,0)^T,\alpha_2'=(0,1,0)^T,\alpha_3'=(0,0,1)^T} α1′=(1,0,0)T,α2′=(0,1,0)T,α3′=(0,0,1)T ，其构成的行列式为 1 ≠ 0 1 \ne 0 1=0 ，故向量组 α 1 ′ , α 2 ′ , α 3 ′ \pmb{\alpha_1',\alpha_2',\alpha_3'} α1′,α2′,α3′ 线性无关，但原向量组含有零向量，线性相关。
性质 8 —— 设向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为两两正交的非零向量组，则 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关，反之不对。
证明： 令 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2+⋯+knαn=0 ，由 ( α 1 , k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n ) = ( α 1 , 0 ) = k 1 ( α 1 , α 1 ) + k 2 ( α 1 , α 2 ) + ⋯ + k n ( α 1 , α n ) = 0 (\alpha_1,k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n)=(\alpha_1,0)=k_1(\alpha_1,\alpha_1)+k_2(\alpha_1,\alpha_2)+\dots+k_n(\alpha_1,\alpha_n)=0 (α1,k1α1+k2α2+⋯+knαn)=(α1,0)=k1(α1,α1)+k2(α1,α2)+⋯+kn(α1,αn)=0 且向量组两两正交可得 k 1 ( α 1 , α 1 ) = 0 k_1(\alpha_1,\alpha_1)=0 k1(α1,α1)=0 ，又 α 1 \alpha_1 α1 为零，故 k 1 = 0 k_1 = 0 k1=0 。
则 k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=0 k2α2+⋯+knαn=0 ，由 ( α 2 , k 2 α 2 + ⋯ + k n α n ) = ( α 2 , 0 ) = k 2 ( α 2 , α 2 ) + ⋯ + k n ( α 2 , α n ) = 0 (\alpha_2,k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n)=(\alpha_2,0)=k_2(\alpha_2,\alpha_2)+\dots+k_n(\alpha_2,\alpha_n)=0 (α2,k2α2+⋯+knαn)=(α2,0)=k2(α2,α2)+⋯+kn(α2,αn)=0 且向量组两两正交可得 k 2 ( α 2 , α 2 ) = 0 k_2(\alpha_2,\alpha_2)=0 k2(α2,α2)=0 ，又 α 2 \alpha_2 α2 为零，故 k 2 = 0 k_2 = 0 k2=0 。同理可得到 k n = 0 k_n=0 kn=0 ，故向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关。
三、向量组等价、向量组的极大线性无关组与秩
3.1 基本概念
向量组等价 —— 若两个向量组维数相同，且可以相互线性表示，称两个向量组等价。
等价的两个向量组，向量个数不一定相同。
向量组的极大线性无关组与秩 —— 设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为一组向量，若满足：
（1）向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 存在 r r r 个向量线性无关；
（2）任意 r + 1 r+1 r+1 个向量（不一定有）一定线性相关，
称 r r r 个线性无关的向量构成的向量组为向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 的极大线性无关组，极大线性无关组所含向量的个数称为向量的秩。
怎么样？是不是和矩阵的秩很像，传送门。
可由其余向量线性表示的向量为向量组的多余向量，求向量组的极大线性无关组，从本质上说其实是去掉多余向量的过程。
向量组的极大线性无关组不一定具有唯一性。
向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 的极大线性无关组为本身的充要条件为该向量组的秩为 n . n. n.
令向量组 A : α 1 , α 2 , … , α n ； B : α 1 , α 2 , … , α n , b A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}；B:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} A:α1,α2,…,αn；B:α1,α2,…,αn,b ，则向量组 A , B A,B A,B 的秩有两种情形：
（1） A A A 的秩和 B B B 的秩相等，其充要条件是 b b b 可由 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示。
（2） A A A 的秩比 B B B 的秩少 1 ，其充要条件是 b b b 不可由 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示。
令 A = [ α 1 , α 2 , … , α n ] A=[\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}] A=[α1,α2,…,αn] ，若矩阵 A A A 经过有限次初等列变换化为 B = [ β 1 , β 2 , … , β n ] B=[\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n}] B=[β1,β2,…,βn] ，则向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 和 向量组 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1,β2,…,βn 等价。
矩阵等价也是这个定义，可以初等变换得到。
写在最后
关于向量秩的性质以及剩余内容，放到后面吧。
到现在为止其实我们已经接触了矩阵、向量、线性方程组了，关于向量的秩和方程组解的关系使我开始联想到矩阵和方程组的关系，而矩阵又是由方程组构成的，让人有些着迷。我打算下一篇就先把这三个给整理一下，不等到学线性方程组的时候了。O.o