[5197——概率趣题：25人每次kill一个谁的存活概率最高]

一共有25个人，每个人都有编号，每一回合杀死一个奇数编号的人，它之后的人的编号-1，问

1.谁的存活时间最长？

设 F[n, k] 为 n 人开局，第 k 位苟活到最后的概率。F[1, 1] = 1, 现在考虑 F[n, k]

可以分为三个部分求解：

1) k被杀

该情况发生概率 = (k%2) // ((n+1)//2)

期望轮数 = 1

2) k 之前的人被杀

该人被杀的概率 = k之前的奇数/所有奇数的数目 = (k//2)/( (n+1)//2 )

此人被杀后，期望轮数在原有的基础上+1，即 1 + F[n - 1, k - 1]

3) k 之后的人被杀

该人被杀的概率 = (所有奇数的数目 - k及k之前的奇数)/所有奇数的数目

= ((n+1)//2 - (k + 1)//2)/( (n+1)//2 )

此人被杀后，期望轮数在原有的基础上+1，即 1 + F[n - 1, k]

import numpy as np
N = 600
F = np.zeros((N +1, N + 1))
F[1, 1] = 1
for n in range(2, N + 1):
    for k in range(1, n + 1):
        odd = (n + 1) // 2;
        preodd = k // 2;
        afterodd = odd - (k + 1) // 2;
        F[n, k] = preodd/odd * (1 + F[n - 1,k - 1]) + afterodd / odd * (1 + F[n - 1, k]) + (k%2) // ((n+1)//2)


# for j in range(1, N + 1):
#     print(F[N, j])
print(np.argmax(F[N, :]))
maxnum = np.argwhere( F[N, :] == np.amax(F[N, :]))
print(maxnum.flatten().tolist()) # if you want it as a list
print(F[N,maxnum])

2.谁的存活概率最大？

设 F[n, k] 为 n 人开局，第 k 位苟活到最后的概率。F[1, 1] = 1, 现在考虑 F[n, k]

可以分为三个部分求解：

1) k被杀

活着的概率 = 0，对状态转移方差无贡献

2) k 之前的人被杀

该人被杀的概率 = k之前的奇数/所有奇数的数目 = (k//2)/( (n+1)//2 )

此人被杀后，转换为求解 F[n - 1, k - 1]

3) k 之后的人被杀

该人被杀的概率 = 所有奇数的数目 - k及k之前的奇数/所有奇数的数目

= (n+1)//2 - ((k + 1)//2)/( (n+1)//2 )

此人被杀后，转换为求解 F[n - 1, k]

import numpy as np
N = 2000
F = np.zeros((N +1, N + 1))
F[1, 1] = 1
for n in range(2, N + 1):
    for k in range(1, n + 1):
        odd = (n + 1) // 2;
        preodd = k // 2;
        afterodd = odd - (k + 1) // 2;
        F[n, k] = round(preodd/odd * F[n - 1,k - 1] + afterodd / odd * F[n - 1, k], 5)


for j in range(1, N + 1):
    print(F[N, j])
print(np.argmax(F[N, :]))
maxnum = np.argwhere( F[N, :] == np.amax(F[N, :]))
print(maxnum.flatten().tolist()) # if you want it as a list

n 为 25 则 24 25 存活的概率都是最大的

n 为 24 则 24 存活的概率最大