(动态规划) 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值 ——【Leetcode每日一题】

❓ 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

难度：中等

在一个 m * n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。

你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。

给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

####示例 1:

输入:

[
 [1,3,1],
 [1,5,1],
 [4,2,1]
] 

输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

思路：动态规划

应该用动态规划求解，而不是深度优先搜索，深度优先搜索过于复杂，不是最优解。

从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。 根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。

设 dp[i,j] 为从棋盘左上角走至单元格 [i,j] 的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：dp[i,j] 等于 dp[i,j−1] 和 dp[i−1,j] 中的较大值加上当前单元格礼物价值 grid[i,j] ，状态转移方程为：

$$dp[i,j]=\{\begin{array}{ll}grid[i,j]& ,i=0,j=0\\ grid[i,j]+dp[i,j-1]& ,i=0,j\ne 0\\ grid[i,j]+dp[i-1,j]& ,i\ne 0,j=0\\ grid[i,j]+\max (dp[i-1,j],dp[i,j-1])& ,i\ne 0,j\ne 0\end{array}$$
​
空间优化：

• 由于 dp[i][j]只与 dp[i−1][j] , dp[i][j−1] , grid[i][j]有关系，因此可以将原矩阵 grid用作 dp 矩阵，即直接在 grid 上修改即可。
• 应用此方法可省去 dp 矩阵使用的额外空间，因此空间复杂度从 $O(mn)$ 降至 $O(1)$ 。

代码：(C++、Java)

C++

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        for(int i = 1; i < m; i++){ // 先处理第一行
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        }
        for(int i = 1; i < n; i++){  //处理第一行列
            grid[0][i] += grid[0][i - 1];
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                grid[i][j] += max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
};

Java

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        for(int i = 1; i < m; i++){//先处理第一行
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        }
        for(int i = 1; i < n; i++){//处理第一列
            grid[0][i] += grid[0][i - 1];
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                grid[i][j] += Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(mn)$，其中 m 和 n 分别为二维数组 grid 的行高、列宽，动态规划需遍历整个 grid 。
• 空间复杂度：$O(1)$，原地修改使用常数大小的额外空间。。

题目来源：力扣。

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