LA@齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构

解的性质

齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

• 设${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_r$都是$(2)$的解,则${\sum }_{i=1}^r=k_i{\xi }_i$

• 证明1:

  • 对于齐次线性$(2)$,如果两向量${\xi }_1,{\xi }_2$都是该方程组的解向量,那么对于${\xi }_1,{\xi }_2$的线性组合${\xi }_3=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$也是该方程组的解向量

    • $A{\xi }_i=0,i=1,2$
    • $A{\xi }_3=A(\sum _{i=1}^2{k}_i{\xi }_i)=\sum _{i=1}^2{k}_{i}A{\xi }_i$
    • 而$k_{i}A{\xi }_i=0$,所以$A{\xi }_3=0$

  • 类似的,可以得到,齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

• 证明2:

  • 两个解向量的和仍然是解向量,再证明解向量的$k$倍仍然是解向量,即可证明任意个解向量的常数倍之和(也就任意个解向量的线性组合)仍然是解向量

• 事实上,齐次线性方程组的全部解可以由有限个解向量(的线性组合)表示

基础解系

• 方程$(2)$的所有解向量构成的向量集合(向量组)记为$S$
• 设$S$存在一个极大无关组$S_0:{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_t$,那么$S$中的向量都能由$S_0$线性表示,$S_0$称为$(2)$的一个基础解系

通解

• 最大无关组$S_0$的任何线性组合$\mathbf{x}={\sum }_{i=1}^r=k_i{\xi }_i$,(,$k_i,i=1,2\cdots ,t$为任意实数)是$(2)$的解,能够表示$S$中的任意向量,所有也成为$(2)$的通解

• 把$Ax=0$全体解所构成的集合记为$S$,设$\Phi ={\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s$是S的一个极大无关组,$R(A)=r,s=n-r$

  • ​

• 通解:最大无关组$\Phi$的任意向量$x=\Phi (k_1,\cdots ,k_s{)}^T=\sum _{i=1}^s{k}_i{\xi }_i$性组合都是方程$Ax=0$的解

  • 通解(是$\Phi$的生成子空间)
  • 齐次线性方程组的通解可以描述(表出)方程组的任意一个解

• 齐次线性方程组$Ax=0$的解集的极大无关组称为该齐次方程组的基础解系,要求齐次线性方程的通解,只需要求它的基础解系

定理:齐次线性方程组基础解系存在定理

• 若$R(A)=n$,方程$(2)$只有唯一解零解,不存在基础解系
• 若$R(A)<n$,方程$(2)$存在非零解(无穷多解),一定存在基础解系

齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)

• 方程组解集的秩$R(S)$,即基础解系的秩的性质是十分有用的性质
• 揭示了方程(2)系数矩阵的秩$R(\mathbf{A})$,解集的秩$R(S)$与未知数(元)个数$n$的关系
• 若方程(2)存在基础解系$A_0$,则包含的向量的个数为$n-r$,即方程(2)的解集$S$的秩为$R_s=n-r$,或者作$R(A)+R(S)=n$
• 另一种描述:设$m\times n$的矩阵$\mathbf{A}$的秩为$R(\mathbf{A})=r$,则$n$元齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=0$的解集$S$的秩$R_s=n-r$
• 同时$n-r$是方程(2)的通解中包含的自由未知数的个数;非自由未知数的个数则是系数矩阵的秩$r=R(\mathbf{A})$

应用和示例

推论1

• 设${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{B}}_{n\times l}=O$,则$R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})⩽n$
  • 令$\mathbf{A}=({\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n)$;$\mathbf{B}=({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)$,$A,B$分别表示$\mathbf{A},\mathbf{B}$列向量组
  • 矩阵方程$\mathbf{AB}=\mathbf{O}$等价于向量方程组:$\mathbf{A}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)=0$,即
    • $\mathbf{A}{\mathbf{b}}_i=0$,$i=1,\cdots ,l$
  • 可以看出${\mathbf{b}}_i$都是方程$\mathbf{Ax}=0$的解
  • 设$\mathbf{Ax}=0$的解集为$S$,则${\mathbf{b}}_i\in S$,说明$B$是$S$的部分组,所以$R(B)⩽R(S)$
  • 而$R(S)=n-R(A)$,所以$R(B)⩽n-R(A)$
  • 所以$R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})⩽n$

推论2

• 设$n$元齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=0$与$\mathbf{Bx}=0$通解,则$R(\mathbf{A})$=$R(\mathbf{B})$
  • 分别设两个方程组的解集为$S_1,S_2$,则$S_1=S_2$
  • 则$R(\mathbf{A})=n-R(S_1)$;$R(\mathbf{B})=n-R(S_2)$
  • 又$R(S_1)=R(S_2)$,所以$R(\mathbf{A})$=$R(\mathbf{B})$
• 这表明,当$\mathbf{A},\mathbf{B}$的列数相同,(方程$\mathbf{Ax}=0,\mathbf{Bx}=0$包含数量相同的未知数)时
• 欲证$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$,可以转换为证若$\mathbf{Ax}=0,\mathbf{Bx}=0$两个方程组同解

推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质

• $R({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A})$=$R(\mathbf{A})$
• 证明:设$\mathbf{A}$是$m\times n$的令$\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}$,显然$\mathbf{B}$是$n\times n$的
  • 由此可见,$\mathbf{A},\mathbf{B}$有相同的列数
  • 若$\mathbf{x}$满足$\mathbf{Ax}=0$,则${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}(\mathbf{Ax})=0$也成立,由结合律:$\mathbf{Bx}=0$
  • 若$\mathbf{x}$满足$\mathbf{Bx}=0$($n\times 1$),对其两边取转置运算,${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}=0$($1\times n$),即${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}=0$($1\times n$),再对两边同时右乘以$\mathbf{x}$($n\times 1$),得$({\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}})(\mathbf{Ax})=0$,即$(\mathbf{Ax}{)}^{\mathbf{T}}(\mathbf{Ax})=0$,由${\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}=\mathbf{O}\Rightarrow \mathbf{X}=\mathbf{O}$可知,$\mathbf{Ax}=0$
  • 可见$\mathbf{Ax}=0,\mathbf{Bx}=0$同解,由推论2,$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$,所以结论成立

非自由未知数的选取方法(最左方法)

• 若方程$(2)$的秩$R(A)=r<n$,将前$r$个未知数$x_1,\cdots ,x_r$作为非自由变量;其余$n-r$个$x_{r+1},\cdots ,x_n$作为自由变量
• 种方式选择非自由变量和自由变量的方法是最常用的,称为最左方法

基础解系和通解形式的不唯一性

• 当$R(A)=r<n$时,方程$(2)$的基础解系包含$n-r$个向量,因此任意$n-r$个线性无关解向量都是$(2)$的基础解系
• 即方程$(2)$的基础解系不唯一,其通解形式也不唯一

证明

分析

• 方程$(2)$的系数矩阵$\mathbf{A}$通过初等变换(通解初等变换)可以得到如下形式的强化行最简形矩阵

  • B = ( 1 0 ⋯ 0 c 1 , 1 ⋯ c 1 , n − r 0 1 ⋯ 0 c 2 , 1 ⋯ c 2 , n − r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 c r , 1 ⋯ c r , n − r 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ) = ( E r C O O ) B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1,1} & \cdots & c_{1,n-r} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2,1} & \cdots & c_{2,n-r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r,1} & \cdots & c_{r,n-r}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E_r&C\\ O&O \end{pmatrix} B= ​10⋮00⋮0​01⋮00⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​00⋮10⋮0​c1,1​c2,1​⋮cr,1​0⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​c1,n−r​c2,n−r​⋮cr,n−r​0⋮0​ ​=(Er​O​CO​)

  • 按最左方法,其反映的是$x_1,\cdots ,x_r$是非自由未知数时,$x_{r+1},\cdots ,x_n$是自由未知数(共$s=n-r$个)

  • 其中$s$描述了方程组$(2)$的自由度(基础解系包含的线性无关向量的多样性)

  • 非自由未知数用自由未知数表示为式(1):

    • $$x_i=-\sum _{k=1}^s{c}_{i,k}\times x_{r+k};(i=1,2,\cdots ,r)$$

    • ξ = ( x 1 ⋮ x r x r + 1 ⋮ x n ) = ( − ∑ i = 1 s c 1 , i × x r + i ⋮ − ∑ i = 1 s c r , i × x r + i x r + 1 ⋮ x n ) \xi=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{1,i}\times x_{r+i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{r,i}\times x_{r+i} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} ξ= ​x1​⋮xr​xr+1​⋮xn​​ ​= ​−i=1∑s​c1,i​×xr+i​⋮−i=1∑s​cr,i​×xr+i​xr+1​⋮xn​​ ​

  • 设方程$(2)$的全部解的集合为$S$

证法1

齐次线性方程的基础解系构造

• $(2)$的解是$n$维向量,分两部分,前$r$为非自由未知数,后$s$维为自由未知数

  • 设计特解时,先选定后$s$维

    • 为了简单方便起见,通常取解向量的后s维为单位坐标向量(向量中只含有一个0,1两种元素,且只有一个元素是1)

    • q i = ( x r + 1 ⋮ x n ) q 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) ; q 2 = ( 0 1 ⋮ 0 ) ; ⋯   ; q s = ( 0 0 ⋮ 1 ) q_i=\begin{pmatrix} x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \\ q_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; q_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; q_s=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} qi​= ​xr+1​⋮xn​​ ​q1​= ​10⋮0​ ​;q2​= ​01⋮0​ ​;⋯;qs​= ​00⋮1​ ​

  • 计算前$r$维(将$q_i,i=1,2,\cdots ,s$代入式(1))

    • p i = ( x 1 ⋮ x r ) p_i=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ \end{pmatrix} pi​= ​x1​⋮xr​​ ​

    • p 1 = ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋯ − c r , 1 ) ; p 2 = ( − c 1 , 2 − c 2 , 2 ⋯ − c r , 2 ) ; ⋯   ; p s = ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋯ − c r , n − r ) p_1=\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1} \end{pmatrix}; p_2=\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \end{pmatrix}; \cdots; p_s=\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r} \end{pmatrix} p1​= ​−c1,1​−c2,1​⋯−cr,1​​ ​;p2​= ​−c1,2​−c2,2​⋯−cr,2​​ ​;⋯;ps​= ​−c1,n−r​−c2,n−r​⋯−cr,n−r​​ ​

  • $$\xi =\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$$

    ξ 1 = ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋯ − c r , 1 1 0 ⋮ 0 ) ; ξ 2 = ( − c 1 , 2 − c 2 , 2 ⋯ − c r , 2 0 1 ⋮ 0 ) ; ⋯   ; ξ s = ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋯ − c r , n − r 0 0 ⋮ 1 ) ; \xi_1=\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1}\\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \\ 0\\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; \xi_s=\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r}\\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix}; ξ1​= ​−c1,1​−c2,1​⋯−cr,1​10⋮0​ ​;ξ2​= ​−c1,2​−c2,2​⋯−cr,2​01⋮0​ ​;⋯;ξs​= ​−c1,n−r​−c2,n−r​⋯−cr,n−r​00⋮1​ ​;

证明所构造的向量组是基础解系

• 线性无关性:

  • 方法1:矩阵$\mathbf{D}=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s)$中包含${\mathbf{E}}_s$,且$|{\mathbf{E}}_{n-r}|=s\ne 0$,$R(\mathbf{D})=s$所以$D:{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s$线性无关
  • 方法2:由${\xi }_i$的结构可以看出,${\xi }_i$的后s维是构成的向量之间是线性无关的,而线性无关组的延伸组依然线性无关

• $S$的全部向量可以由$D$线性表示:

  • 设向量$\xi =(k_1,\cdots ,k_r,k_{r+1},\cdots ,k_n)$是$S$的任意一个向量,
    • 构造向量$D$的线性组合:${\xi }^{\ast }=\sum _{i=1}^s{k}_{r+i}{\xi }_i$则${\xi }^{\ast }$也是方程$(2)$的通解,并且表出系数来自需要被$D$线性表示的向量$\xi$的第$r+1,\cdots ,n$个元
    • 容易发现,${\xi }^{\ast }$和$\xi$在第$r+1,\cdots ,n$维是相同的
    • 又根据前面的分析以及式(1),方程$(2)$的解向量包括非自由变量和自由变量,其中非自由变量取决于自由变量的取值,所以非自由变量完全确定了整个解向量(若两个解向量的非自由未知数一样,则两个解向量相等)
    • 所以${\xi }^{\ast }=\xi$,即任意解向量都能由${\xi }^{\ast }$(即$D$的线性组合)表示
    • 所以$S$的全部向量可以由$D$线性表示

• 所以$D$是$S$的极大无关组,所以$D$方程$(2)$的基础解系

证法2

• 令自由未知量$x_{r+i}$分别取$k_i$,$i=1,2,\cdots ,s$;代入式$(1)$;则方程$(2)$的通解表示为
  ξ = ( x 1 ⋮ x r x r + 1 ⋮ x n ) = ( x 1 ⋮ x r k 1 ⋮ k s ) = ( − ∑ i = 1 s c 1 , i × k i ⋮ − ∑ i = 1 s c r , i × k i k 1 ⋮ k s ) = k 1 ( − c 1 , 1 ⋮ − c r , 1 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + k s ( − c 1 , s ⋮ − c r , s 0 ⋮ 1 ) \xi=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{1,i}\times k_{i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{r,i}\times k_{i} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =k_1\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} +\cdots +k_s\begin{pmatrix} -c_{1,s} \\ \vdots \\ -c_{r,s} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} ξ= ​x1​⋮xr​xr+1​⋮xn​​ ​= ​x1​⋮xr​k1​⋮ks​​ ​= ​−i=1∑s​c1,i​×ki​⋮−i=1∑s​cr,i​×ki​k1​⋮ks​​ ​=k1​ ​−c1,1​⋮−cr,1​1⋮0​ ​+⋯+ks​ ​−c1,s​⋮−cr,s​0⋮1​ ​

• 将上述通解记为:$\xi ={\sum }_{i=1}^s{k}_i{\xi }_i$,涉及的向量记为向量组:$\mathbf{D}=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s)$

• 通解$\xi$可以表示$S$中的任意向量

• 而$D$中后$s$行构成一个$s$阶单位阵,其行列式为1(非0),所以$R(D)=s$所以$D$线性无关

• 所以$D$是方程$(2)$的一个基础解系解系

小结

• 上述两种方法一种是先求基础解系再求通解;另一种是先求通解再求基础解系

基础解系构造提要

• 可以从$Ax=0$的系数矩阵A通过初等变换转化为(包含r阶单位子阵,r=R(A))的强化行最简矩阵U,

  • $r=R(A),s=n-r$

  • $$\begin{gathered} U=\left(\begin{array}{cc}{E}_{r\times r}& T_{r\times s}\\ 0_{t\times r}& 0_{t\times s}\end{array}\right) \\ r+s=n \\ \mathbf{D}=\left(\begin{array}{c}-T_{r\times s}\\ E_{s\times s}\end{array}\right) \end{gathered}$$

    • $D:{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$是$\mathbf{D}$的列向量组

    • $D$就是$\mathbf{Ax}=0$的基础解系

  • 我们把注意力集中在分块$P_{r\times s}=-T_{r\times s}$上即可,在此基础上,追加一个s阶的单位阵;

    • 最终该矩阵的每个列向量就是基础解系的一个解向量成员

• 方法1:不一定要化作强化行最简形矩阵,也可以考虑化为准行最简形矩阵(W)(和强化行最简形矩阵相差若干列交换的调整)

  • 从$W$中读出$r$个非自由未知数用$n-r$个自由未知数的表达式
  • 取定合适的$n-r$个组值(每组值可以来自$n-r$阶单位阵的不同列),得到$n-r$个解向量作为基础解系
  • 得到通解

• 方法2:将行简化矩阵进一步调整为$U$的形式可能要做列交换,这会使得解向量中的元素不再和$x_1,\cdots ,x_n$一一对应,需要注意这一点,记录列交换的情况,然后调整顺序使之对应$x_1,\cdots ,x_n$

例

• 设$\mathbf{Ax}=0$:

  • A = ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ r ( 1 0 − 2 7 − 3 7 0 1 − 5 7 − 4 7 0 0 0 0 ) \bold{A} =\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 2&-5&3&2\\ 7&-7&3&1 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1&0&-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\ 0&1&-\frac{5}{7}&-\frac{4}{7}\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} A= ​127​1−5−7​−133​−121​ ​∼r ​100​010​−72​−75​0​−73​−74​0​ ​

  • $R(A)=2<4$方程有无穷多解,其基础解系$S_0$存在且$R(S_0)=n-r=4-2=2$

  • 令$x_1,x_2$为非自由未知数,$x_3,x_4$为自由未知数

  • $$\begin{gathered} x_1=\frac{2}{7}{x}_3+\frac{3}{4}{x}_4 \\ {x}_2=\frac{5}{7}{x}_3+\frac{4}{7}{x}_4 \end{gathered}$$

• 基础解系

  • 令取2组自由未知数的取值:$q_1$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,$q_2$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$,则对应的非自由未知数向量:$p_1$=$\left(\begin{array}{c}\frac{2}{7}\\ \frac{5}{7}\end{array}\right)$,$q_2$=$\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}\end{array}\right)$
  • 即得方程组得解集中的两个线性无关的特解 ξ 1 = ( 2 7 5 7 1 0 ) \xi_1=\begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\\1\\0\end{pmatrix} ξ1​= ​72​75​10​ ​; ξ 2 = ( 3 7 4 7 0 1 ) \xi_2=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\\0\\1\end{pmatrix} ξ2​= ​73​74​01​ ​
  • (Note:如果用构造提要一节中,可以直接得出${\xi }_1,{\xi }_2$)

• 通解

  • $\xi ={\sum }_{i=1}^2{k}_i{\xi }_i$,其中$k_i\in \mathbb{R}$

补充

• 结合上面的例子讨论

再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系

• 例如
  • $q_1$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$,$q_2$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$,$q_1,q_2$线性无关(不成比例)
  • η 1 = ( 5 7 7 9 1 1 ) \eta_1=\begin{pmatrix}\frac{5}{7}\\\frac{7}{9}\\1\\1\end{pmatrix} η1​= ​75​97​11​ ​; η 2 = ( − 1 7 1 7 1 − 1 ) \eta_2=\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\\1\\-1\end{pmatrix} η2​= ​−71​71​1−1​ ​
  • 则${\eta }_1,{\eta }_2$与${\xi }_1,{\xi }_2$同为$S$的极大无关组,都是方程组的基础解系

非最左方法选取非自由变量

• 非自由变量的选取不按最左方法时,求解基础解系的过程相较于上节讨论的"标准过程"会有所不同

  • 例如$x_1$若按最左方法会被归为非自由未知数,但是这假设$x_1$被作为自由未知数

    • 相应的,需要有其他未知数$x_j,j\ne 1$代替原$x_1$作为非自由未知数
    • 在标准过程中,行最简形矩阵的第1列是${\mathbf{e}}_1=(1,0,\cdots ,0{)}^T$
    • 在这里利用行变换,将$\mathbf{A}$的第$j$列(记为$c_j$,是$x_j$的系数,$j\ne 1$)变换成${\mathbf{e}}_1$
    • 类似的,共可以选出$n-r$个自由未知数设为$x_{j_k}$,$(k=1,\cdots ,n-r)$,需要通过初等行变换,将$\mathbf{A}$中的其他$r$个非自由未知数分别转换为${\mathbf{e}}_i$(${\mathbf{e}}_i$表示$n$维单位坐标向量中第$i$维是1的列向量,$j_k$之间互不相等)
    • 此时的矩阵虽然不是行最简形矩阵,(这类矩阵不是唯一的),其具有和行最简形矩阵相同的作用,称其为准行最简形矩阵都能够利用$r$个$n$维单位坐标向量读出$n-r$个自由未知数表示$r$个非自由未知数的表出系数

  • 本例中,我们打算将$x_1,x_2$作为自由未知数来表示非自由未知数$x_3,x_4$,

    • A = ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ r ( − 5 2 0 1 4 − 3 1 0 0 0 0 0 ) \bold{A} =\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 2&-5&3&2\\ 7&-7&3&1 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} -5&2&0&1\\ 4&-3&1&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} A= ​127​1−5−7​−133​−121​ ​∼r ​−540​2−30​010​100​ ​

    • 类似的,可以看出$x_3=-4x_1+3x_2$;$x_4=5x_1-2x_2$,$x_1,x_2\in \mathbb{R}$

    • 此时基础解系可以取

      • ξ 1 = ( 1 0 − 4 5 ) ; ξ 2 = ( 0 1 3 − 2 ) \xi_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\-4\\5 \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} 0\\1\\3\\-2 \end{pmatrix} ξ1​= ​10−45​ ​;ξ2​= ​013−2​ ​

      • 通解为$\xi ={\sum }_{i=1}^2{k}_i{\xi }_i$

---