【Atcoder】 [ABC270Ex] add 1

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Luogu方向

题目解法

如果要表示每一维的状态的话，显然装不下
考虑用简洁的方式表示状态，且可转移
有一个很巧妙的状态表示，首先考虑逆转操作，把计数器归零变为变成目标数字
令 $d{p}_s$ 表示 $n$ 个计数器中当前数字离目标数字的最大值
考虑 $a_r<s\le a_{r+1}$ 的 $r$，对于 $[1,r]$ 的计数器，如果选择，会使 $s-1$；对于 $[r+1,n]$ 的计数器 $x$，如果选择，会使 $s=a_x$
所以这个状态表示是好转移的：
$d{p}_s=\frac{r}{n}d{p}_{s-1}+\frac{1}{n}{\sum }_{i=r+1}^{n}d{p}_{a_i}+1$
考虑把 $d{p}_{s-1}$ 提到前面，使 $dp$ 转移式可以递推
$d{p}_{s-1}=\frac{n}{r}d{p}_s-\frac{1}{r}{\sum }_{i=r+1}^{n}d{p}_{a_i}-\frac{n}{r}$
考虑到边界是 $d{p}_0=0$，和递推方向是相反的，考虑如何变为一致

这里有一个很妙的 $trick$，令 $f_i=d{p}_{a_n}-d{p}_i$
化简上面的式子可得：$f_{s-1}=\frac{n}{r}{f}_s-\frac{1}{r}{\sum }_{i=r+1}^n{f}_{a_i}+\frac{n}{r}$
考虑上面的式子对于 $a_i$ 到 $a_{i+1}$ 之间的转移式都是相同的，所以考虑对于每一段矩阵乘法优化
时间复杂度 $O(2^{3}nlog{A}_n)$

#include 
#define int long long
using namespace std;
const int N(200100),P(998244353); 
struct Matrix{
	int n,m,a[2][2];
};
Matrix operator *(const Matrix &A,const Matrix &B){
	Matrix C;C.n=A.n,C.m=B.m;memset(C.a,0,sizeof(C.a));
	for(int i=0;i<C.n;i++) for(int j=0;j<C.m;j++)
		for(int k=0;k<A.m;k++) C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%P;
	return C;
} 
int n,a[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int qmi(int a,int b){
	int res=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) res=res*a%P;
		a=a*a%P;
	}
	return res;
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	int sum=0,f=0;
	for(int i=n;i>1;i--){
		int inv=qmi(i-1,P-2);
		sum=(sum+f)%P;
		int c=(-inv*sum%P+n*inv%P+P)%P;
		Matrix B;B.n=2,B.m=2,B.a[0][0]=n*inv%P,B.a[0][1]=0,B.a[1][0]=B.a[1][1]=1;
		Matrix A;A.n=1,A.m=2,A.a[0][0]=f,A.a[0][1]=c;
		int times=a[i]-a[i-1];
		for(;times;times>>=1ll){
			if(times&1) A=A*B;
			B=B*B;
		}
		f=A.a[0][0];
	}
	printf("%lld",f);
	return 0;
}