几道微分方程题

13. 求欧拉方程：

令，

原方程化为

即，。此方程为二阶常系数齐次线性常微分方程。

其特征方程为，

所以，

所以，易得

即，

14. 求一阶线性微分方程：

直接代入一阶线性微分方程的求解公式：

容易解得，

15. 求一阶微分方程：

令

则，

容易知道，积分因子能使原方程变为恰当方程。

所以方程两边同乘

得

令

则显然有，

所以存在，满足上述微分方程，且

由

易得，

所以，

所以，，

代入可得，

所以，微分方程的解为，

16. 利用参数法求：

令

所以，

两边同时求微分，所以有

又因为

所以，

所以，

代入

即得，

17. 利用降阶法求：

显然是不显含的方程，令

则，

原式转化为，

即，显然为可分离变量的微分方程

容易求得，

即，也为可分离变量的微分方程

易得，