回归分析学习

什么是回归分析

• Regression
• 回归分析是描述变量间关系的一种统计分析方法
• 例：在线教育场景
  • 因变量Y：在线学习课程满意度（通常是一些预测或真实值）00000000000000000
  • 自变量X：平台交互性、教学资源、课程设计(通常是一些特征）
• 前面提到过 西洋跳棋系统目标函数的设计也是一个回归问题
• 预测性的建模技术，通常用于预测分析
• 预测的结果多为连续值（但也可以是离散值，甚至是二值）

简单线性回归

线性回归（linear regression）

• 因变量和自变量之间是线性关系，就可以用线性回归来建模

线性回归的目的即找到最能匹配（解释）数据的截距和斜率

线性假设

• 线性： 有些变量间的线性关系是确定性的
  
• 线性：然而通常情况下，变量间是近似的线性关系
  如下图：
  
  这些点不是线性的，为什么还要进行线性的拟合

1. 可能本来是线性的，但是有噪声的扰动，就不是纯线性的
2. 确实不是线性的，也不知道背后的规律，但是用线性拟合还不错

如何拟合数据

• 假设只有一个因变量和自变量，每个训练样例表示 $(x_i,y_i)$
• 用 ${\hat{y}}_i$ 表示根据拟合直线和 $x_i$ 对 $y_i$ 的预测值
  ${\hat{y}}_i=b_1+b_2{x}_i$
  b₁是截距，b₂是斜率
• 定义 $e_i=y_i-{\hat{y}}_i$ 为误差项，也叫残差$ϵ$

• 目标：得到一条直线使得对于所有训练样例的误差项尽可能小
  • (本来是对于所有实例空间，但很难达成，所以就变成是所有训练样例）

线性回归的基本假设

1. 自变量与因变量间存在线性关系;
2. 数据点之间独立; （相互独立，如y1和y2项户独立，y1和y3相互独立，y1和y3相互独立）
3. 自变量之间无共线性，也就是自变量相互独立; （特征是相互独立，如天气和带东西是相互独立，但是天气和带伞不是相互独立的，不建议用）
4. 残差（误差项）独立,等方差,且符合正态分布（参考机器学习原则和方法的极限中心定理，）。
   • iid（独立同分布得到的数据，如果足够多的话，不管背后是什么分布，叠加后的平均向量（值）也是服从正态分布的），对于同一个问题的误差，我们可以认为是同源的， 如果每个误差是独立来的，噪声足够多的话，那我们可以认为是误差平均向量符合正态分布的， 中心极限定理。
   • 独立一般是机器学习数据的基本要求

损失函数(loss function)

• 多种损失函数都是可行的，凭直觉就可以想到：
  • 所有误差项的加和 ${\sum }_{i=1}^n{e}_i={\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i)$
  • 所有误差项绝对值的加和${\sum }_{i=1}^n|e_i|={\sum }_{i=1}^n|(y_i-{\hat{y}}_i)|$
• 考虑到优化等问题，最常用的是基于误差平方和的损失函数
  $\underset{b_1,b_2}{\min }:{\sum }_{i=1}^n{e}_i^2={\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2={\sum }_{i=1}^n(y_i-b_1-b_2{x}_i{)}^2$
  使用平方和，会把误差缩放， 比如$3^2=9,0.1^2=0.01$, 我们一般认为损失大，影响就大，损失小影响就小。

最小二乘法(Least Square, LS)

• 为了求解最优的截距和斜率，可以转化为一个针对损失函数的
  凸优化问题，称为最小二乘法
  $\frac{\partial {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}{\partial b_1}=-2{\sum }_{i=1}^n(y_i-b_1-b_2{x}_i)=0(1)$
  $\frac{\partial {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}{\partial b_2}=-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i(y_i-b_1-b_2{x}_i)=0(2)$

• 求解得到：
  $b_2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$
  $b_1=\bar{y}-b_2\bar{x}$

• $\bar{x}和\bar{y}$分别表示自变量和因变量的均值

梯度下降法（Gradient Descent，GD）

• 除了最小二乘法，还可以用基于梯度的方法迭代更新截距和斜率
  • 梯度下降法
  • 初始化 $b_1,b_2$
    • （可以随机， 随机不同的值，梯度下降不一样）
    • 基于b₁,b₂就可以预测出${\hat{y}}_i$, 和真实值y_i就可以算出残差（或残差绝对值、平方和）
  • 重复：
    • $b_1=b_1-\alpha$
    • $b_2=b_2-\alpha$
      • 基于残差更新b₁,b₂,$\alpha$就是更新项
      • 对比LS：
        • $\frac{\partial {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}{\partial b_1}$
        • $\frac{\partial {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}{\partial b_2}$
    • 有了新的b₁,b₂，就可以预测出新的$\hat{y}$，计算新的误差项进行更新

回忆西洋跳棋系统设计：
$w_i\leftarrow w_i+c\ast f_i\ast error(b)$
$w_i$就是上面的$b_1$,c就是很小的常数项，如0.1,$f_i$是第i个数据的特征取值，error(b)就是残差，这里的残差就是本来的，有正有负，来回调整，调整的越来越小

• 梯度下降法也是找的局部最优

多元线性回归(multiple Linear Regression)

• • 当因变量有多个时，我们可以用矩阵方式表达
  
  其实此时：$y_i={\beta }_0+{\beta }_1+x_{i2}+{\beta }_3{x}_{i3}+....+{\beta }_k{x}_{ik}+{ϵ}_i$
• 此时的误差项 e = [ e 1 e 2 ⋮ e n ] = y − X β e= \begin{bmatrix} e_1\\ e_2 \\ \vdots\\ e_n \end{bmatrix} =y-X\beta e= ​e1​e2​⋮en​​ ​=y−Xβ
• 损失函数${\sum }_{i=1}^n{e}_i^2=e^{\prime }e{e}^{\prime }表示转置(线性代数)$
• 求解 $\frac{\partial e^{\prime }e}{\partial \beta }=-2X^{\prime }Y+2X^{\prime }X\beta$
• 得到 $\beta =(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$

$2X^{\prime }X\beta =2X^{\prime }Y$
$X^{\prime }X\beta =X^{\prime }Y$
$(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }X\beta =(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$
$\beta =(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$
并不是所有的矩阵都有逆矩阵， 所以这里，多元线性回归只有（X‘X）有逆矩阵才可以进行误差项矩阵操作

多元线性回归参数估计的推导(法二）

${\sum }_{i=1}^n{e}_i^2={\sum }_{i=1}^n(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{x1}-...-{\beta }_p{x}_{ik}{)}^2$
对每一个需要估计的参数 ${\beta }_i$求偏导:
$\sum (y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{x1}-...-{\beta }_k{x}_{ik})=0$
$\sum (y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{x1}-...-{\beta }_k{x}_{ik})x_{i1}=0$
…
$\sum (y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{x1}-...-{\beta }_k{x}_{ik})x_{ik}=0$

$(y-X\beta {)}^{T}X=0$
$y^{T}X={\beta }^T{X}^{T}X\to X^{T}y=X^{T}X\beta \to beta=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$

实例：家庭花销预测

• 记录了 25 个家庭每年在快销品和日常服务上
  • 总开销（）
  • 每年固定收入（ ₂）、持有的流动资产（ ₃）
• 可以构建如下线性回归模型
  $y_i={\beta }_1+{\beta }_2{x}_{i2}+{\beta }_3{x}_{i3}+{ϵ}_i;i=1,...,25$

• 最终的预测模型为
  ${\hat{y}}_i=36.79+0.3318xi2+0.1258x_{i3}$
• 如果一个家庭每年固定收入为 50K$、持有流动资产 100K$，则
  预计一年将会花费
  ${\hat{y}}_i=36.79+0.3318(50)+0.1258(100)=65.96K$$

以“误差平方和”为损失函数的优缺点

• 用误差平方和作为损失函数有很多优点
  • 损失函数是严格的凸函数，有唯一解
  • 求解过程简单且容易计算
• 同时也伴随着一些缺点
  • 结果对数据中的“离群点”(outlier)非常敏感
    • 解决方法：提前检测离群点并去除
  • 损失函数对于超过和低于真实值的预测是等价的
    • 但有些真实情况下二者带来的影响是不同的

使用线性回归方法， 一般看两点：

1. 是否满足线性回归的假设，如线性、独立
2. 线性回归的不足对实验影响程度，影响大则不能使用

相关系数与决定系数

• 用来看线性回归拟合的是否足够好

线性回归的相关系数

• 定义因变量和自变量之间的相关系数 r
  $r=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(\frac{x_i-\overline{x}}{s_x})(\frac{y_i-\overline{y}}{s_y})$
  $(\frac{x_i-\overline{x}}{s_x})(\frac{y_i-\overline{y}}{s_y})$是协方差，描述两个变量 X 和 Y 的线性相关程度
  线性相关程度越高，r值越高；线性相关程度越低，r值越低
  $\overline{x}:X的均值$
  $s_x:X的标准差\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$

r可能小于0
r小于0，说明Y和X之间是负相关关系，r>0,正相关

有了训练样例，即所有的x和y， 就可以计算因变量和自变量之间的线性相关程度是不是足够高，如果线性相关不高，那就不一定要用线性回归方法。因为它们本质上不一定是线性回归关系

线性回归的决定系数(coefficient of determination)

• 决定系数$R^2$,也称作判定系数、拟合优度
  $R^2=1-\frac{{\sum }_i(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_i(y_i-\bar{y}{)}^2}{y}_i:真实值，{\hat{y}}_i:预测值，\bar{y}均值(预测值的平均值）$
  $R^2=1-\frac{{\sum }_i(y_i-{\hat{y}}_i)/n}{{\sum }_i(y_i-{\bar{y}}_i)/n}=1-\frac{MSE}{VAR}$
  MSE： 均方误差 VAR：方差
  $\frac{MSE}{VAR}$是说明由y带来的影响，而$1-\frac{MSE}{VAR}$则是x带来的影响
• 注意：有可能<0, $R^2$不是$r^2$ ，而是一个值的表示
• 衡量了模型对数据的解释程度
  • y的波动有多少百分比能被x的波动所描述
  • $R^2$越接近1，表示回归分析中自变量对因变量的解释越好
• 特别注意：变量相关 ≠ 存在因果关系
• 如X表示天气， Y表示步行， 有可能相关，但不能说存在因果关系
  

R²越接近1，说明$\frac{MSE}{VAR}$越接近0，说明误差($y_i-{\hat{y}}_i$）越接近0， 匹配的越准，所以也叫拟合优度
R²小于0，说明$\frac{MSE}{VAR}$大于1，说明误差($y_i-{\hat{y}}_i$）比方差还大，
数据挖掘中好多数据有相关，但因果关系需要排除其它控制变量的影响

总结

• 回归分析：描述变量间关系的统计分析方法
• 线性回归：最常用，基本假设
• 基于误差平方和的损失函数
  • 最小二乘法
  • 梯度下降法
• 扩展到多元线性回归
• 相关系数与决定系数：相关 ≠ 因果