River Chandler
River Chandler

四元数代数

  • 四元数
    • 三维空间的实矢量与一个实数组成的数

四元数运算法则

  • 相等
  • 加法
  • 乘法

AB=(a_0+\vec{a})(b_0+\vec{b})=a_0b_0-\vec{a}\cdot\vec{b}+a_0\vec{b}+b_0\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b}

  • 共轭与模

A=a_0+\vec{a};\widetilde{A}=a_0-\vec{a}

\widetilde{AB}=\widetilde{BA}

\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} \widetilde{A} \end{Vmatrix}=A\widetilde{A}=\widetilde{A}A=a_0^2+\vec{a}\cdot\vec{a}

  • 逆

A^{-1}=\frac{\widetilde{A}}{\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}}

A^{-1}A=AA^{-1}=1

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

\frac{\widetilde{AB}}{\begin{Vmatrix} AB \end{Vmatrix}}=\frac{\widetilde{B}\widetilde{A}}{\begin{Vmatrix} B \end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}}

四元数的矩阵表示

1=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}i=\begin{bmatrix} i &0 \\ 0& -i \end{bmatrix}j=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1& 0 \end{bmatrix}k=\begin{bmatrix} 0 &i \\ i& 0 \end{bmatrix}

狭义相对论时空观

两条基本原理

  • 普遍相对性原理
    • 一切自然定理的表述形式在所有的惯性参考系中均是相同的
  • 时间同质原理
    • 空间（实轴）
    • 时间（虚轴）
    • 闵可夫斯基时空

坐标变换

  • 时空中点的四位置 R= ict+\vec{r}

坐标系平动

R_0=ict_0+\vec{r}_0

坐标系转动

R'=M^{+}RM

M=m_0+m\vec{e};M^{+}=m_0^*-m^*\vec{e}

  • \vec{e}是转动轴的单位矢量
  • 基于旋转不改变两空间点之间的间隔这一点，我们可以定义

\begin{matrix} \gamma = m_0^*m_0 + m^*m>0\\ \lambda = m_0^*m_0 - m^*m\\ \gamma^2 + \lambda^2 = 1 \end{matrix}

  • 基于一些二次方程的计算，我们可以很轻松得得到

四元数代数_第1张图片

  • 当 \delta = 0,\delta_0=0时 这就是刚体的转动
  • 当\delta=\frac{\pi}{2},\delta_0 = 0时 
    • 坐标变换四元数 M=M^+=\sqrt{\frac{\gamma+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\gamma-1}{2}}\vec{e}
    • 这就是洛伦兹变换
      • 洛伦兹变换满足

\left\{\begin{matrix} t'=\gamma t - \frac{\sqrt{\gamma^2-1}}{c} \vec{r}\cdot \vec{e}\\ \vec{r}'\cdot \vec{e} = \gamma\vec{r}\cdot \vec{e}-ct\sqrt{\gamma^2-1}\\ \vec{r}'\cdot \vec{e}_\bot = \vec{r}\cdot \vec{e}_\bot \end{matrix}\right.

  •         
    •  也就是说
      • 与旋转轴垂直的空间分量不变
      • 沿着旋转轴的空间分量与时间分量变化
    • 如果我们同时考察分量对时间的导数，会有

\frac{d(\vec{r}\cdot\vec{e})}{dt}=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}=c\beta

\frac{d(\vec{r}\cdot\vec{e_\bot})}{dt}=0

  • 我们可以同时导出速度在两个惯性参考系之间的变换关系

v'_{\parallel}=\frac{d(\vec{r}'\cdot \vec{e})}{dt'}=\frac{v_{\parallel}-u}{1-\frac{uv_{\parallel}}{c^2}};v'_{\bot}=\frac{d(\vec{r}'\cdot \vec{e}_\bot)}{dt'}=\frac{v_{\bot}}{\gamma(1-\frac{uv_{\parallel}}{c^2})}

   

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