Dijkstra算法与Floyd算法

最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

 

注意:以下代码 只是描述思路,没有测试过!!

 

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

 

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法代码实现:

 

复制代码
const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
    bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
      int n=MAXNUM;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        dist[i] = A[v0][i];
        S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
        if(dist[i] == MAXINT)    
              prev[i] = -1;
        else 
              prev[i] = v0;
     }
     dist[v0] = 0;
     S[v0] = true;   
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
         int mindist = MAXINT;
         int u = v0;                               // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
         for(int j=1; j<=n; ++j)
            if((!S[j]) && dist[j] 
          
复制代码

 

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

 

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理:

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在)

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述:

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。   

b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算—-十字交叉法

方法:两条线,从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵,其中矩阵A是邻接矩阵,而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下:

最后A3即为所求结果

 

3.算法代码实现

复制代码
typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 

void Floyd(MGraph g) {   int A[MAXV][MAXV];   int path[MAXV][MAXV];   int i,j,k,n=g.n;   for(i=0;i(A[i][k]+A[k][j]))   {
  A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];   path[i][j]=k;   }  }
}
复制代码

算法时间复杂度:O(n3)

分类: 数据结构与算法
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posted on 2012-07-31 12:37 as_ 阅读(401900) 评论(41) 编辑 收藏

评论

#1楼   

good
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http://pic.cnblogs.com/face/508792/20130325095912.png
2014-03-04 17:45 | ☆y急速の灵感 ★  

#2楼   

楼主讲的很精辟,好文章
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http://pic.cnblogs.com/face/u264690.bmp
2014-04-01 15:19 | 晓O(∩_∩)O~  

#3楼   

如此的详细
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http://pic.cnblogs.com/face/584151/20131120141849.png
2014-08-04 20:27 | 阿鲁巴  

#4楼   

给赞!
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2014-08-12 14:44 | silent_coder  

#5楼   

强大,赞
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http://pic.cnblogs.com/face/608121/20140227211824.png
2014-10-23 15:01 | 千叶树  

#6楼   

能否转载?写的好详细!!
以前学的忘了,现在看看觉得好有道理!
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http://pic.cnblogs.com/face/632767/20141029231741.png
2014-11-05 19:07 | Godfray  

#7楼[楼主]   

@ Godfray
哈哈 记得标明出处吧
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http://pic.cnblogs.com/face/u426620.jpg?id=11183206
2014-11-17 14:25 | as_  

#8楼   

结合代码总算看懂了Dijkstra算法~
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2014-11-29 16:14 | qinggeouye  

#9楼   

竟然可以讲的如此明白
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2014-12-02 16:12 | pppanda  

#10楼   

算法原理那里,2(是从i经过若干个节点k到j)好像 不等价于Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)吧?
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2015-04-03 20:33 | yeshen  

#11楼   

@ 月下凉
这句话只是在判断这个点有没有用过,并且,这个点还是可以走的。而且你说的那个例子,我完全没看懂,能不能详细的说下,是为什么?是怎么个走法???还是菜菜,希望解释下,好学习学习!
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2015-08-03 15:16 | 梁小猪  

#12楼   

mark
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2015-08-04 16:52 | alex_cool  

#13楼   

写的很好很详细,不过Dijikstra的算法步骤第二步和第三步交换一下顺序应该更好,把除V0外的距离都初始化为MAXINT,第一步把V0加入S中,以V0为中间点计算修改U中各顶点的距离(原步骤3),然后从中选择距离最小的顶点为新的中间点,加入S中(原步骤2),重复步骤2和步骤3。这是一个递归的过程,这样感觉更顺,与动画也更贴切。另外,我水平比较低,不过,数组真的没越界吗???
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2015-09-16 21:28 | 营养不良的红  

#14楼   

话不多说,一个字,好!
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2015-11-18 13:08 | 屌丝改变世界  

#15楼   

不得不顶!
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2015-12-29 15:55 | 阿水  

#16楼   

很清晰
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http://pic.cnblogs.com/face/636799/20150907113508.png
2015-12-31 22:07 | xiaoluo91  

#17楼   

请问可以转载吗?
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2016-01-04 03:22 | lamlamM  

#18楼   

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http://pic.cnblogs.com/face/741325/20150407174308.png
2016-03-04 12:55 | 鼬与轮回  

#19楼   

有一个疑问,Dijkstra其实就是贪心算法的思想吧???
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http://pic.cnblogs.com/face/919841/20160323111700.png
2016-03-25 09:40 | Sampson-9  

#20楼   

代码你跑通了吗就发上来,不像个程序员
支持(1) 反对(3)
2016-04-04 22:10 | gouxake  

#21楼[楼主]   

@ gouxake
不好意思 这代码是在校期间写的
另外代码根本没有跑过 我当时原本目的想写伪代码描述思路而已

至于具体代码 作为个程序员 自己实现个也不困难吧
支持(3) 反对(0)
http://pic.cnblogs.com/face/u426620.jpg?id=11183206
2016-05-06 14:05 | as_  

#22楼   

博主写的这篇博客,真的是太他妈好了。
支持(1) 反对(0)
2016-05-24 15:26 | keyeechen  

#23楼   

楼主,讲的简单直白!怒赞,想问一下楼主的动态图是用什么画的了?
支持(2) 反对(0)
2016-06-23 11:17 | 愤怒的小菜鸟~.~  

#24楼   

很好,谢谢楼主,画的非常直观
支持(1) 反对(0)
2016-07-13 15:21 | 编程萝卜  

#25楼   

讲的很好啊,思路清晰,而且事无巨细,搂住棒棒哒~
支持(1) 反对(0)
2016-09-09 12:04 | 莲动似是故人来  

#26楼   

我只想说一句话,本来我没有注册博客园帐号。
我注册的目的就是想给博主点个赞��
支持(2) 反对(0)
2016-09-14 23:03 | EsLion  

#27楼   

楼主, 这个判断if((!S[j]) && dist[j]
支持(0) 反对(0)
2016-09-15 15:31 | FriskyPuppy  

#28楼   

请问在Dijkstra算法示例中,将D、E 之间的权重改为5或者6以上的数字,会影响最短路径的结果么? 小弟在推算过程中感觉改变这个值对结果没有影响。如果是这样的话那就不是最短路径了。 有可能是我推算的有问题。 望大神解答
支持(0) 反对(0)
2016-09-17 17:20 | forwardX  

#29楼   

@ yeshen
这是个类似动态规划的过程,在O(n^3)的运算过程中一定可以把局部最优解处理为全局最优解。。。因为局部最优是全局最优的必要条件。。。
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http://pic.cnblogs.com/face/788097/20150925163550.png
2016-11-15 22:37 | woodenhead  

#30楼   

感谢博主! 但Dijkstra算法的动画图好像有一个错误:在以3为中间点判断到4的最短路径时应该时22>9+11,动画里好像写反了;)
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http://pic.cnblogs.com/face/1072319/20161129230024.png
2016-11-30 16:56 | 李秋豪  

#31楼   

感谢博主,辛苦了。
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2016-12-28 16:39 | Griezmann  

#32楼   

可以注册账号来感谢你的动态图,及其他,谢谢
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2017-05-04 16:59 | SuvanCheng  

#33楼   

http://www.61mon.com/index.php/archives/194/ ,我的这篇更详细
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http://pic.cnblogs.com/face/789826/20170208092208.png
2017-05-22 16:21 | 刘毅(Limer)  

#34楼   

刚刚学习算法,不大懂啊,要不要先看看凸轮的知识。。。
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http://pic.cnblogs.com/face/1176586/20170905173945.png
2017-07-19 15:40 | YJLAugus  

#35楼   

感谢分享
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2017-07-28 20:56 | 噗_嗤  

#36楼   

博主 我觉得你写Floyd算法的时候 上面文字说的清楚 但是下面的矩阵演示就不清楚了 没有说明每一步划线的含义 只是告诉我们怎么做是不够的
支持(0) 反对(0)
2017-08-02 09:50 | 剩余的明天  

#37楼   

最看不起这种用了别人的东西却不注明出处的人!
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2017-08-04 09:04 | yogurtice22yogadance  

#38楼   

@ Sampson-9
对,弗洛伊德的思想是动态规划
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http://pic.cnblogs.com/face/1215839/20171005220935.png
2017-08-13 20:20 | Hammer_cwz_77  

#39楼   

@ yogurtice22yogadance
你写的?你连博客都没有。
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http://pic.cnblogs.com/face/1215839/20171005220935.png
2017-08-13 20:26 | Hammer_cwz_77  

#40楼   

dijkstra算法解释得异常清楚,伪代码也很清晰,但是写到Floyd-WarShall算法就不太认真了噢。谢谢楼主了。
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2017-09-18 22:30 | 不燥不怕  

#41楼37902282017/9/19 23:02:22   

非常感谢
支持(0) 反对(0)
2017-09-19 23:02 | learningAgain  
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