【Atcoder】 [ABC133F] Colorful Tree

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题目解法

超妙的 dp 题
考虑把题目转化为二分图匹配
假设每对点下面都有一条黑线，那么怪异度即为跨过黑线的总数
考虑令 $dp[i][j][k]$ 为到 $i$ 对，前面有 $j$ 对未匹配，当前怪异度为 $k$ 的方案数
考虑转移：
若 $i,j$ 匹配，则不会新增未匹配对数，$dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k-2j]$，其中 $k-2j$ 的含义是前面 $2j$ 个未匹配会跨越当前的黑线，也可以理解为价值提前计算
若 $i$ 和右部点匹配 或 $j$ 和左部点匹配，则不会新增未匹配对数，$dp[i][j][k]+=2j\ast dp[i-1][j][k-2j]$
若 $i,j$ 都不匹配，则会新增一对未匹配点，$dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k-2j]$
若 $i,j$ 都与之前未匹配的匹配，则会减少一对未匹配点，$dp[i][j][k]+=(j+1)\ast (j+1)\ast dp[i-1][j+1][k-2j]$

时间复杂度 $O(n^{2}k)$

#include 
using namespace std;
const int N(60),P(1e9+7);
int n,m,dp[N][N][N*N];
inline int read(){
    int FF=0,RR=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
    return FF*RR;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    dp[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            for(int k=2*j;k<=m;k++){
                int add=(1ll*(2*j+1)*dp[i-1][j][k-2*j]+1ll*(j+1)*(j+1)*dp[i-1][j+1][k-2*j])%P;
                if(j>0) add=(add+dp[i-1][j-1][k-2*j])%P;
                (dp[i][j][k]+=add)%=P;
            }
    // cout<
    printf("%d",dp[n][0][m]);
    return 0;
}
/*
dp[i][j][k]：二分图上到第i个点，有j个点未匹配，当前怪异度为k的方案数
*/