插值法和线性拟合 第一节

目录

2.1 插值多项式存在唯一性

2.2 Lagrange(拉格朗日)插值

 2.2.1 线性插值
 2.2.2 抛物插值
 2.2.3 Lagrange插值公式
 2.2.4 插值余项

2.3 Newton(牛顿)插值

 2.3.1 基函数
 2.3.2 差商的概念
 2.3.3 差商的性质
 2.3.4 Newton插值公式

2.4 Hermite(赫米特)插值

2.5 分段插值

 2.5.1 高次插值的Runge现象
 2.5.2 分段插值的概念
 2.5.3 分段线性插值
 2.5.4 分段三次Hermite插值

小结
习题

引用

共分五次
第一次　线性插值的唯一性和拉格朗日插值
第二次　牛顿插值
第三次　赫米特插值
第四次　分段插值
第五次　习题课和小结

一.多项式插值引言

  实际问题中，对离散点的函数拟合，以及对函数表达式复杂的函数可以使用一个简单的连续函数来近似替代，以简化问题。其中为被逼近函数，为逼近函数。
  如果要求构造的函数取给定的离散数据，即,当为代数多项式时，与之对应的插值逼近称为代数多项式插值。



  确定一个次数不高于n的多项式，

使其满足

点互异,称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间。
  从几何上看，多项式插值问题即是求作一条曲线上给定的n+1个点的n次代数曲线作为的近似。

这样的多项式的是唯一的，下面给出证明:

证明:

该多项式满足

可以写成形如的形式,其中
其系数矩阵

根据线性代数中的非齐次线性方程组的有解性，以及可知系数矩阵A是一个满秩的范德蒙行列式，故解唯一，即插值多项式存在且唯一。

结论:
  对于给定了互异的n+1个插值节点n次代数多项式插值，其n次代数多项式是存在且唯一的，其形式为

2.2.1 线性插值

[引入]

使它满足

形如此类构造即为线性插值。

特别的，这种构造可以写成基函数的形式，对插值点有基函数
这样就可以构造这样的话，只有基函数对应的插值点时值为1,否则为0。

2.2.2 抛物插值

虽然直线插值简单方便，但是由于它是用直线代替曲线，基于导数推导的知识我们知道，这种方法只适合插值区间较小的情况，且在插值区间上变化平稳，否则误差可能很大。
为了克服这一问题，考虑用更高次的多项式来近似地替代。
(更高次替代更准确的原因类比泰勒展开，函数的特征在于增减性和函数值，在这两个要素上越接近，逼近函数越契合被逼近函数，但是这是已知函数解析式的情况下，对于插值，高次拟合会产生runge现象，后面会提到)

类似的，利用基函数来构造

其余不对应的基函数值为0。
这样，我们构造出

得到的抛物构造函数为

2.2.3 Lagrange插值公式

[引入] 设在给定的互异节点上的函数值为,求作一个次数小于n的多项式。

使它满足

类似的，我们以基函数构造
其中
构造完毕，这就是拉格朗日插值公式，基于基函数的构造方法。
注:

2.2.4插值余项

了解了插值拟合方法，也需要确定插值的精度，此时结合计算n次代数多项式插值的截断误差，也是插值余项。

证明有两种，一种是本教材的证明，另外一种是《数值分析　第五版》李庆杨著中的证法，考虑到证明的自然性，这里先使用李书中的证法。

证法一:
由构造方法知道，当x取值在插值点时是没有误差的，故可以构造下列式子，其根包含所有插值点

其中,是与有关的待定系数，现在把看作是上的一个固定点，K(x)是一个常量,作函数

故



这样就可以给出拉格朗日插值余项的解析解，但是是区间上的某点，不能准确获得，所以类似的，采用误差限的方式，我们求取插值余项的误差限。

证法二:
暂时了，计算方法第二版可见原证明。

引用

1.《计算方法　第二版》崔国华　许如初著
2.《数值分析　第五版》李庆杨著