Inverse/Implicit Function Theorem

@[TOC]

Chapter 4 Inverse Function Theorem

这个章节讲得很好, 还引用了庄子秋水中的一段话, 大佬啊.

4.1 The Inverse Function Theorem

映射在可微, 若存在使得

定理4.1(逆函数定理): 令为一映射, 其中为一开集, , 假设可逆, 则存在开集分别包含使得在上的限制是一个双射, 且其在的逆映射是的. 此外, 若在上是则其逆映射也是的.

首先是需要证明在附近的对应是一一的, 这用到了

这一压缩映射(首先得证明它是压缩映射, 同时在此过程中可确定).
第二步是证明逆映射的连续性, 然后是可微性.

最后的证明可由, 得到

The Implicit Function Theorem

定理4.3 (隐函数定理): 设为定义在开集上的映射. 假设满足, 且可逆. 则存在开集包含和一个映射, 使得

若是的, 则也是的, . 此外, 此映射在所定义的开集合(似乎需要加以限制)上是唯一的.

证明考虑下列映射

并利用逆函数定理.

4.3 Curves and Surfaces

这是逆函数定理和隐函数定理的一个应用, 详见原文, 内容还是很有趣的.

4.4 The Morse Lemma

non-degenerate critical point: 即一阶梯度为0, 二阶梯度(黑塞矩阵)非奇异的点.

定理4.9 (Morse引理): 令为一定义在的一个开集上, 且为一非退化关键点( non-degenerate critical point). 则存在一个光滑的局部坐标变换使得

其中为关键点的index.

注: 原文中并没有这一项, 个人认为是作者的笔误.