读《漫步华尔街》中的一点数学随想

价格走势是否连续，趋势是否能被跟踪，在一定程度上等价于行情数据序列在时间轴价格轴的坐标系中能否进行积分计算。在《漫步华尔街》一书中，作者认为金融市场是一个狂放的随机系统（Wild Random），行情的走势是不可预测的。所以，这里就转换成了一个棘手的数学问题：一个价格时间相关的行情函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢？行情到底是”随机漫步”还是”仙人指路”呢？

《漫步华尔街》

函数可积分条件这个问题一直拖到20世纪初才由大神勒贝格解决。勒贝格把我们常见的长度、面积概念做了一个扩展，得到了更一般的测度的概念。然后，他基于这种测度定义了适用范围更广的勒贝格积分，于是，原来无法求积分的狄利克雷函数在勒贝格积分下就可以求积分了。然后，勒贝格基于测度的理论也给出了一个函数是否可积的判断条件。完美收官？非也！

勒贝格

20世纪60年代初，有一个叫鲁滨逊的德国人重新捡起了莱布尼茨的无穷小量。他把实数扩展到非实数，直接把无穷大和无穷小变成了非实数域里的一个元素。所以他的理论可以直接处理无穷小量，这是第一个严格的无穷小理论。

我们知道，幽灵般的无穷小量在微积分建立初期掀起了腥风血雨，后来经过柯西和魏尔斯特拉斯的拼命抢救，才终于在坚实的ε-δ极限理论之上重建了微积分。柯西和魏尔斯特拉斯的这一套让微积分严密化的方法被称为标准分析。

而鲁滨逊认为，无穷小量虽然不严谨，但是大家基于无穷小量做的微积分计算却也都是正确的，这至少表明无穷小量里应该也包含着某种正确性。ε-δ极限是一种绕弯解决无穷小量不严谨的方法，但是这种方法并不是唯一的。鲁滨逊选择直接面对无穷小量，直接建立了另一种让微积分严密化的方法。因此，与柯西和魏尔斯特拉斯的标准分析相对，鲁滨逊的这种方法被称为非标准分析。

提出了不完备定理的数学大神哥德尔就对非标准分析推崇备至，他认为非标准分析将会是未来的数学分析。他说：“在未来的世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分300年后，第一个严格的无限小理论才发展起来。”

 牛顿和莱布尼茨通过发现积分和微分，这两个看似完全不搭边的东西，竟然是一对互逆的运算，从而绕开了挡在近代数学发展道路上的一个拦路虎——“无穷小”。但随着现代数学的发展，“无穷小”、“无穷大”始终在魅惑着数学天才们，让其欲罢不能。“其大无外、其小无内”同时也是一个哲学问题，如何终归无极？

 因此，金融量化分析的研究目前看来也出现两个方向：第一是越来越复杂的高阶计算，阶数似乎正在趋于无穷大；第二种是基于统计分析的机器学习（machine learn），归因学习的层数似乎正在趋于无穷大。当然这都需要消耗巨大的算力，很多交易者就要问了，真的需要搞这么复杂吗？搞简单点的量化或者程序化交易就赚不到钱吗？越复杂的系统本身不具反脆弱性，“正确”和“精确”很多时候无法统一。对于量化学习的初学者，首先需要的是正确：正确的交易思想、正确的金融认知，然后以此指导正确的量化交易实践。随着实践的深入，认知的积累，也许你能发现既正确又精确的数学的美，而这些都须维证方知。