高中奥数 2022-02-03

2022-02-03-01

(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P072 例01)

设.证明:对任意正实数;.若,,则

证明

对归纳.当时,由条件知

故对成立.

现设对成立,考虑的情形
\begin{aligned} &\left(1-x_{1} \cdots x_{n}\right)^{m}+\left(1-y_{1}^{m}\right) \cdots\left(1-y_{n}^{m}\right) \\ =&\left(1-x_{1} \cdots x_{n-1}\left(1-y_{n}\right)\right)^{m}+\left(1-y_{1}^{m}\right) \cdots\left(1-y_{n}^{m}\right) \\ \geqslant &\left(1-x_{1} \cdots x_{n-1}+x_{1} \cdots x_{n-1} y_{n}\right)^{m}+\left(1-\left(1-x_{1} \cdots x_{n-1}\right)^{m}\right)\left(1-y_{n}^{m}\right) . \end{aligned}
记,,由上式知为证对成立,只需证明:

对任意都成立.即证

对处理时,我们通过对归纳来进行.

当时,显然成立;现设对成立,则
\begin{aligned} &(a+b-a b)^{m}-a^{m}-b^{m}+a^{m} b^{m} \\ \geqslant &\left(a^{m-1}+b^{m-1}-a^{m-1} b^{m-1}\right)(a+b-a b)-a^{m}-b^{m}+a^{m} b^{m} \\ =& 2 a^{m} b^{m}+a b^{m-1}+b a^{m-1}-a^{m} b^{m-1}-a^{m-1} b^{m}-a^{m} b-a b^{m} \\ =&\left(b^{m-1}-b^{m}\right)\left(a-a^{m}\right)+\left(a^{m-1}-a^{m}\right)\left(b-b^{m}\right) . \end{aligned}
注意到,故,,,,所以,即对成立.

综上可知,命题成立.

说明这个与两个正整数变量有关的问题,选择对归纳(视为常数)是容易想到的,因为这时左边的第2个加项在作归纳过渡时显得容易处理些.

2022-02-03-02

(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P073 例02)

证明:对任意,数

都为正整数.

证明

选择作为归纳对象.

当n=1时,,故命题对及成立.

现设命题对及成立,考虑的情形.

由可知

所以,利用首尾配对求和,知
\begin{aligned} S(1, n) &=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}\left(\tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n+1}}+\tan ^{2} \frac{\left(2\left(2^{n-1}-1-i\right)+1\right) \pi}{2^{n+1}}\right) \\ &=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}\left(\tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n+1}}+\tan ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{(2 i+1) \pi}{2^{n+1}}\right)\right) \\ &=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}\left(\tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n+1}}+\cot ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n+1}}\right) \\ &=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}\left(4 \tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n}}+2\right) \\ &=2 \sum_{i=0}^{2^{n-1}-1} \tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n}}+2^{n-1} \\ &=2 \sum_{i=0}^{2^{n-2}-1}\left(\tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n}}+\tan ^{2} \frac{\left(2\left(2^{n-1}-1-i\right)+1\right) \pi}{2^{n}}\right)+2^{n-1} \\ &=2 \sum_{i=0}^{2^{n-2}-1}\left(\tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n}}+\tan ^{2}\left(\pi-\frac{(2 i+1) \pi}{2^{n}}\right)\right)+2^{n-1} \\ &=4 \sum_{i=0}^{2^{n-2}-1} \tan ^{2} \frac{(2 i+1) \pi}{2^{n}}+2^{n-1}=4 S(1, n-1)+2^{n} . \end{aligned}
从而.

下面设都为正整数,考虑.

注意到,对,由二项式定理有

因此
\begin{aligned} &\left(\frac{1}{4}\left(x+x^{-1}-2\right)\right)^{m} \\ =& \frac{1}{4^{m}} \sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k}\left(x+x^{-1}\right)^{k} \cdot(-2)^{m-k} \\ =& \frac{1}{4^{m}}\left(\left(x^{m}+x^{-m}\right)+b_{1}\left(x^{m-1}+x^{-(m-1)}\right)+\cdots+b_{m-1}\left(x+x^{-1}\right)+b_{m}\right), \end{aligned}
这里,并用到的结论.在上式中令,并对用中类似的计算,可知



从而,而中每一项都大于零,故.

综上可知,对任意、,数都为正整数,命题获证.

说明

本质上在从过渡到的过程中,我们采用了对再归纳的方法.在双变量命题中,这种处理是利用数学归纳法处理时常见的方法.

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