2023杭电暑假多校9 题解 2 5 8 | JorbanS

2-Shortest path

题意 将 $1$ 经过最少次的操作变成 $n$，对于一个数 $x$ 有以下三种操作

1. $x=2x$
2. $x=3x$
3. $x=x+1$

题解 反过来看，从 $n$ 变换到 $1$，先进行 $1\sim 10^6$ 区间内的预处理，随后使用 $Hashmap$ 记忆化搜素

因为进行两次操作 $x--$ 和一次 $x/=2$ 是亏的，等价于 $x/=2$ 和 $x--$；同理也不能连续进行三次 $x--$ 再进行一次 $x/=3$

const int N = 1e6 + 2;
unordered_map<ll, int> mp;
int f[N];

void init() { // 预处理
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1] = 0;
    for (int i = 1; i < N; i ++) {
        if (i * 2 < N) f[i * 2] = min(f[i * 2], f[i] + 1);
        if (i * 3 < N) f[i * 3] = min(f[i * 3], f[i] + 1);
        if (i + 1 < N) f[i + 1] = min(f[i + 1], f[i] + 1);
    }
}

ll dfs(ll n) {
    if (n < N) return f[n];
    if (mp.count(n)) return mp[n]; // 记忆化
    return mp[n] = min(
        dfs(n / 2) + n % 2 + 1,
        dfs(n / 3) + n % 3 + 1
    );
}

int main() {
    init();
    FastIO
    Cases
    {
        ll n; cin >> n;
        cout << dfs(n) << endl;
    }
    return 0;
}

其实不用预处理也行，但是要特判 $n<2$ 时 $return0$

• $n=1$ 时，答案确实正确
• $n=0$ 时，实际上是当 $n=2$ 递归下去会出现此情况，如果 $return0$ 则 $min$ 里面的两种 $dfs$ 结果相同，实际上 $dfs(n/3)$ 是不合法的

unordered_map<ll, int> mp;

ll dfs(ll n) {
    if (n < 2) return 0;
    if (mp.count(n)) return mp[n]; // 记忆化
    return mp[n] = min(
        dfs(n / 2) + n % 2 + 1,
        dfs(n / 3) + n % 3 + 1
    );
}

int main() {
    init();
    FastIO
    Cases
    {
        ll n; cin >> n;
        cout << dfs(n) << endl;
    }
    return 0;
}

5-List Reshape

题意 将数组 $[a_1,a_2,a_3,...,a_n]$ 分割成 $n$ 维数组每组大小为 $l$，即 $[[a_1,...,a_l],[a_{l+1},...,a_{2l}],...]$

void solve() {
    string s, str;
    cin.ignore();
    getline(cin, s);
    int n, l; cin >> n >> l;
    int cnt = 0, num = 0;
    for (int i = 0; i < s.size(); i ++) {
        char c = s[i];
        if (c == ',' || c == ']') cnt ++;
        if (cnt == l) {
            cout << "[" << str << ']';
            num ++, i ++, cnt = 0, str = "";
            if (num != n) cout << ", ";
        }
        else str += c;
    }
    cout << ']' << endl;
}

8-Coins

题意 有 $n$ 个人，每个人 $a_i$ 个硬币，每次选两人其中一人给另一个人一个硬币，如果某人没有硬币则退出游戏，问最后进行轮数的期望值（保证为整数）

题解 打表猜结论‍♂️‍♂️‍♂️

对于每一轮两个人，选择哪个人给硬币的概率为 $50\%$，则游戏轮数的期望为 $f(m,n)=1+50\%\cdot f(m+1,n-1)+50\%\cdot f(m-1,m+1)$

// 打表 code
double dfs(ll m, ll n, ll dep) {
    if (dep == 40 || !m || !n) return 0;
    return 1 + dfs(m + 1, n - 1, dep + 1) / 2 + dfs(m - 1, n + 1, dep + 1) / 2;
}
cout << dfs(m, n, 0) << endl;

	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	3.99921	4.9852	5.91537
2		4	5.99872	7.97463	9.8475
3			8.9704	11.8098

根据打表结果猜测 $f(n,m)=n\cdot m$

对于三个人，由样例 in:1 1 1, out:3 猜测是 $a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_1$

再推广到 $n$ 个人，两两相乘然后相加即可，从 $O(n^2)$ 优化到 $O(n)$，答案即为 ${\sum }_{1\le i\le j\le n}{a}_i{a}_j={\sum }_{i=1}^n{a}_i\cdot (sum-a_i)$

using lll = __int128;

void write(lll x) {
    if (x > 9) write(x / 10);
    cout << char(x % 10 + '0');
}

void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<int> a(n);
    lll res = 0, sum = 0;
    for (auto &x: a) cin >> x, sum += x;
    for (auto i : a) res += (sum - i) * i;
    write(res / 2); cout << endl;
}