SDNUOJ 1491 整数划分（三）

题目链接：点击这里

Description

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序，完成以下要求。

Input

每组输入是两个整数

和

。

Output

对于输入的 n, k
第一行： 将 n 划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将 n 划分成 k 个正整数之和的划分数。
第三行： 将 n 划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将 n 划分成若干个奇正整数之和的划分数。
第五行： 将 n 划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行

Sample Input

5 2

Sample Output

7
2
3
3
3

问题1.将 n 划分成若干正整数之和的划分数

表示将整数

划分成最大数不超过

的划分数

(1) 当

时，

不可能划分为大于

的数，所以

(2) 当

时，根据划分中是否含有

可以分为两种情况：

• 若划分中含有

  ，在
  中减去
  ，剩下的就相当于把
  划分成最大数不超过
  ，即

• 若划分中不含

  ，就相当于把
  划分为最大数不超过
  ，即

• 因此，

(3) 当

时，根据划分中是否含有

可以分为两种情况：

• 若划分中含有

  ，此时划分数为

• 若划分中不含

  ，就相当于把
  划分为最大数不超过
  ，即

• 因此，

答案：

问题2.将 n 划分成 k 个正整数之和的划分数

表示将整数

划分成

个正整数的划分数

(1) 当

时，不可能出现，即

(2) 当

时，只有一种情况，即把

划分为

个

，即

(3) 当

时，根据划分中是否含有

可以分为两种情况：

• 若划分中含有

  ，就在
  中减去一个
  ，剩下的就相当于把
  划分成
  个正整数，即

• 若划分中不含

  ，意味着
  个划分至少为
  ，就将
  个划分都减去一个
  ，剩下的就相当于把
  划分成
  个正整数，即

• 因此，

答案：

问题3.将 n 划分成最大数不超过 k 的划分数

可以发现，该问题的状态表示和状态转移与 问题1 完全相同，两者的区别在于最后答案的取值不同，可以把该题看作 问题1 的特例。

……分析略……

答案：

问题4.将 n 划分成若干个奇正整数之和的划分数

表示将

划分为

个奇数之和的划分数

表示将

划分为

个偶数之和的划分数

(1) 将

的

个划分都去掉

，可以得到

，故

(2)

根据划分中是否含有

可以分为两种情况：

• 若划分中含有

  ，可以将
  的划分减掉，剩下的就相当于将
  划分为
  个奇数，即

• 若划分中不含

  ，就将
  个划分都减掉一个1，剩下的就相当于将
  划分为
  个偶数，即

• 因此，

答案：

问题5.将 n 划分成若干不同整数之和的划分数

表示将整数

划分成互不相同且最大数不超过

的划分数

(1) 当

时，

不能划分为大于

的数，所以

(2) 当

时，根据划分中是否含有

可以分为两种情况：

• 若划分中含有

  ，那就在
  中减去一个
  ，由于是互不相同的，所以剩下的就相当于把
  划分成最大数不超过
  ，即

• 若划分中不含

  ，意味着划分中每个数都小于
  ，相当于最大数不超过
  ，即

• 因此，

(3) 当

时，根据划分中是否含有

可以分为两种情况：

• 若划分中含有

  ，此时只有
  种情况

• 若划分中不含

  ，意味着划分中每个数都小于
  ，相当于最大数不超过
  ，即

• 因此，

答案：

注意：本题数组一定要开大点！

参考链接：https://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html

AC代码：

#include
#include
#include
#include

using namespace std;
const int N = 110;

int dp[N][N];
int f[N][N];
int g[N][N];

int main()
{
    int n, k;
    while(~scanf("%d%d", &n, &k))
    {
        // 问题1.将n划分成若干正整数之和的划分数
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if(i < j)   dp[i][j] = dp[i][i];
                else if(i == j) dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];
                else    dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][n]);
        
        // 问题2.将n划分成k个正整数之和的划分数
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if(i < j)   dp[i][j] = 0;
                else if(i == j) dp[i][j] = 1;
                else    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][k]);
        
        // 问题3.将n划分成最大数不超过k的划分数
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if(i < j)   dp[i][j] = dp[i][i];
                else if(i == j) dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];
                else    dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][k]);
        
        // 问题4.将n划分成若干个奇正整数之和的划分数
        memset(f, 0, sizeof f);
        memset(g, 0, sizeof g);
        f[0][0] = 1, g[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                g[i][j] = f[i - j][j];
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i <= n; i++) ans += f[n][i];
        printf("%d\n", ans);
        
        // 问题5.将 n 划分成若干不同整数之和的划分数
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if(i < j)   dp[i][j] = dp[i][i];
                else if(i == j) dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];
                else    dp[i][j] = dp[i - j][j - 1] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        printf("%d\n\n", dp[n][n]);
    }
    
    return 0;
}