深入理解树状数组

大家好，我是 方圆。关于各类区间和问题有很多种解法，我们可以根据题目要求选择解题的方向：

• 数组不变，区间查询：前缀和、树状数组和线段树

• 数组单点查询，区间查询：树状数组 和线段树

• 数组区间修改，单点查询：差分 和线段树

• 数组区间修改，区间查询：线段树

树状数组是其中能解决问题最多的，而且它相比于线段树代码量更少更简单，是我们 优先选择的方法。在本文我们对线段树进行介绍，并在文末附上相关的习题供大家练习。如果大家想要找刷题路线的话，可以参考 Github: LeetCode。

树状数组

树状数组（BIT, Binary Indexed Tree）是简洁优美的数据结构，它能在很少的代码量下支持 单点修改 和 区间查询，我们先以 a[] {1, 2, 3, 4, 5, 6} 数组为例建立树状数组看一下树状数组的样子：

可以发现：不是所有节点都是连接在一起的，c[1], c[2], c[3], c[4] 和 c[5], c[6] 分别构成了两棵树；奇数索引位置的节点只管辖一个数组元素（我们例子中以 1 为起始索引）。那么这个树状数组是怎么计算和推导出来的呢？

管辖的区间

树状数组的每个元素会管辖多少个数组元素？也就是说每个元素的区间长度是多少？我们从上图中已经知道了奇数的树状数组元素只管辖一个元素，区间为 c[x] = [x, x]，那么我们只需再研究下偶数元素管辖的区间长度即可。

• c[y] 所管辖的区间长度为 2^k ，其中 k 为 y 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量；c[y] 所管辖的区间为：[y - 2^k + 1, y]

我们以 c[4] 为例，它管辖多少个元素呢？4 的 2 进制表示为 0100，最低位 1 后面 0 的数量为 2，即 k = 2，那么 2^k = 2² = 4，所以它管辖的区间长度为 4，也就是 4 个数组元素，区间为 [4 - 4 + 1, 4] = [1, 4]。

父节点是谁？

现在我们知道每个元素所管辖的区间范围了，那么我们怎么才能知道它的父节点是谁呢？就比如说我们现在得到了 c[1] 元素，我们想知道它的父节点，要怎么计算呢？

• c[x] 的父节点为 c[x + lowbit(x)]

怎么回事？其中的 lowbit(x) 是什么东西？其实它的值和 2^k 一致，其中 k 为 x 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量，熟悉不熟悉？这个 lowbit(x) 和我们上文中计算该元素所管辖区间长度的值一致！这不就简单了！

• lowbit(x) 的计算方法：lowbit(x) = x & -x

  我们以计算 c[2] 为例，lowbit(2) = 2 & -2，其中 2 的 2 进制表示为 0010，-2 的 2 进行表示为 1110，它的计算方法为将 2 的所有非符号位二进制全部取反后再加 1，即 1101 + 1 = 1110，执行 & 运算后结果为 0010，十进制表示为 2，与 2¹ 值一致。lowbit 的计算用代码表示为：

      int lowbit(int x) {
          return x & -x;
      }
  

我们以 c[1] 节点为例计算下它的父节点是谁，lowbit(1) = 1 & -1 = 0001 & 1111 = 0001 = 1，那么它的父节点为 c[1 + 1] = c[2]，与图上表示的一致。

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现在我们已经知道如何通过计算来创建树状数组了， 接下来我们要看下它的应用。

区间查询

区间查询我们先讨论计算前 N 项和的方法，比如我们现在要查询前 6 项和，我们来看下它查询的过程：

• 从 c[6] 开始找子节点，有 c[6] 管辖的区间为 [5, 6]，那么再往下找需要找 c[4]，它的区间为 [1, 4]，计算这两个节点的和即可。

那么从 c[6] 跳到 c[4] 是如何计算出来的呢？我们可以通过 c[6] 区间的下界减 1 来得到，转换成公式表示即为 x - lowbit(x) = 6 - 2 = 4，当它跳到 c[4] 时发现已经满足求和条件，不再向下跳而结束查找，而且我们可以通过计算 4 - lowbit(4) = 4 - 4 = 0 ，可以发现当 x - lowbit(x) = 0 时为结束查找的条件。我们用代码来表示为：

    int query(int x) {
        int res = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
            res += c[i];
        }
        
        return res;
    }

那么我们计算区间 [3, 6] 的和该如何计算呢？我们从图中可以发现，先计算出[1, 6] 和 [1, 2] 的和，再使用前者减去后者即为所得，用代码表示为：

    int query(int left, int right) {
        return query(right) - query(left - 1);
    }

单点修改

如果我们要修改 a[x] 的值，我们仅需要修改所有管辖了 a[x] 的 c[y] 即可，而 a[x] 可能会被多个 c[y] 管辖，这些所有的 c[y] 节点该如何确定呢？我们可以回头再去看看前面的树状数组配图，比如我们要修改 a[1] 的值，那么我们需要修改 c[1], c[2] 和 c[4] ，能不能发现它是在不断的 跳父节点 修改？所以，如果我们要修改数组中某个元素的值，树状数组的更新则是不断地更新父节点值。好，我们直接上代码吧：

    // 将 index 索引处的值更新为 num
    void update(int index, int num) {
        a[index] = num;
        add(index, num - a[index]);
    }

    // 更新 c[index] 的值，变化差值为 val
    void add(int index, int val) {
        for (int i = index; i <= c.length; i += lowbit(i)) {
            c[i] += val;
        }
    }

建树

好了，区间查询和单点修改我们都讲完了，但是从头到尾我们还没说过树状数组是怎么建立的呢。我们可以想一下，c 数组初始化时每个索引处的值都为 0，建树仅需要将 a 数组中所有值都在树状数组中执行单点修改即可：

    public BinaryIndexedTree(int[] a) {
        this.a = a;
        this.c = new int[a.length + 1];
        
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            add(i + 1, a[i]);
        }
    }

到这里我们基本上已经将树状数组讲解完毕了，它的全量代码如下：

public class BinaryIndexedTree {

    int[] a;

    int[] c;

    public BinaryIndexedTree(int[] a) {
        this.a = a;
        this.c = new int[a.length + 1];

        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            add(i + 1, a[i]);
        }
    }

    // 将 index 索引处的值更新为 num
    void update(int index, int num) {
        a[index] = num;
        add(index, num - a[index]);
    }

    // 更新 c[index] 的值，变化差值为 val
    void add(int index, int val) {
        for (int i = index; i < c.length; i += lowbit(i)) {
            c[i] += val;
        }
    }

    int query(int left, int right) {
        return query(right) - query(left - 1);
    }

    // 查询前缀和的方法
    int query(int x) {
        int res = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
            res += c[i];
        }

        return res;
    }

    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
}

我们需要掌握或背过这个模板，并不断的做题练习。

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我们记前 i 项的前缀和为 s，s = sum[0, i]，其中 0 <= i <= nums.length - 1，其中必然存在某区间满足题意要求，我们记 s = sum[0, k] + sum[k + 1, i]，其中 k < i，若 sum[k + 1, i] 符合题意要求，则有：

那么我们可以根据以上结果得出，任意区间 [0, i] 内符合题意的数量等于该区间内前缀和满足 [s - upper, s - lower] 条件的数量（i 为我们当前处理的索引位置，s 为当前 i 项前缀和，k 为已经处理过的索引位置），这样我们能够使用树状数组标记前缀和的值（sum[0, k]），并计算区间内值的数量得出结果。但是由于数组中每个数范围很大，会导致值域爆炸，所以需要采用离散化的方法，这样才能在树状数组中对值进行标记。

离散化是指当我们只关心数据的大小关系时，用排名代替原数据进行处理的一种预处理方法。离散化本质上是一种哈希，它在保持原序列大小关系的前提下把其映射成正整数。当原数据很大或含有负数、小数时，难以表示为数组下标，导致一些算法和数据结构（如BIT）无法运作，这时我们就可以考虑将其离散化。

好了，基本思路已经确定了，我们看下具体代码实现，关注其中的注释即可：

    public int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) {
        // 使用 set 记录下所有的前缀和前缀和需要满足的题意范围的值，供我们做离散化使用
        // 之所以使用 set 是因为我们只需要知道它在树状数组中的位置，而不要求它的数量
        Set<Long> set = new HashSet<>();
        long preSum = 0L;
        // 需要将前缀和 0 也标记进来，它是原数组索引 0 处值的前缀和
        set.add(preSum);
        for (int j : nums) {
            preSum += j;

            set.add(preSum);
            set.add(preSum - upper);
            set.add(preSum - lower);
        }
        // 所有的值都有了，我们进行离散化处理
        ArrayList<Long> list = new ArrayList<>(set);
        Collections.sort(list);
        // 使用 hashmap 来保存值对应在树状数组的索引
        HashMap<Long, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
            map.put(list.get(i), i + 1);
        }

        int res = 0;
        BinaryIndexedTree tree = new BinaryIndexedTree();
        // 前缀和从 0 开始计算
        preSum = 0L;
        // 标记数组索引 0 前的前缀和在树状数组中的位置
        tree.update(map.get(0L));

        for (int num : nums) {
            preSum += num;

            int left = map.get(preSum - upper);
            int right = map.get(preSum - lower);
            res += tree.query(left, right);

            // 更新该前缀和在树状数组中的位置
            tree.update(map.get(preSum));
        }

        return res;
    }

    static class BinaryIndexedTree {

        int[] tree;

        public BinaryIndexedTree() {
            // 数组长度为 1e5 我们需要把对应的范围值也保存上，所以需要 * 3
            tree = new int[(int) 3e5 + 1];
        }

        public void update(int index) {
            for (int i = index; i < tree.length; i += lowbit(i)) {
                tree[i] += 1;
            }
        }

        public int query(int left, int right) {
            return query(right) - query(left - 1);
        }

        public int query(int index) {
            int res = 0;
            for (int i = index; i > 0; i -= lowbit(i)) {
                res += tree[i];
            }

            return res;
        }

        private int lowbit(int i) {
            return i & -i;
        }
    }

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巨人的肩膀

• 树状数组（简单介绍）

• 负数的二进制表示方法（正数：原码、负数：补码）

• 树状数组

• 算法学习笔记(2) : 树状数组

• 维基百科 - 树状数组

• 关于各类「区间和」问题如何选择解决方案（含模板）

• 算法学习笔记(19): 离散化