高考理科数学大题选：函数与导数

收录大题28个

2007年理数海南卷题21

设函数 ．

（Ⅰ）若当 时 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性;

（Ⅱ）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 .

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2008年理数海南卷题21

设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .

（Ⅰ）求 的解析式;

（Ⅱ）证明∶函数 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心;

（Ⅲ）证明∶曲线 上任一点的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

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2009年理数海南卷题21

已知函数 .

（Ⅰ）若 ，求 的单调区间;

（Ⅱ）若 在 上单调增加，在 上单调减少，证明∶ .

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2010年理数全国卷题21

设函数 .

（1）若 ，求 的单调区间；

（2）若当 时 ，求 的取值范围.

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2011年理数大纲卷题22

（Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ；

（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽得的20 个号码互不相同的概率为 . 证明∶.

参考答案：2011年理数大纲卷题22

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2011年理数全国卷题21

已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围.

参考答案：2011年理数全国卷题21

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2012年理数大纲卷题20

设函数 .

（Ⅰ）讨论 的单调性；

（Ⅱ）设 ，求 的取值范围.

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2012年理数全国卷题21

已知函数 满足 .

（Ⅰ）求 的解析式及单调区间；

（Ⅱ）若 ，求 的最大值.

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2013年理数大纲卷题22

已知函数

（Ⅰ）若 时 ，求 的最小值;

（Ⅱ）设数列 的通项 ，证明： .

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2013年理数全国卷A题21

设函数 . 若曲线 和曲线 都过点 ，且在点 处有相同的切线 .

（Ⅰ）求 的值;

（Ⅱ）若 时， ，求 的取值范围.

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2013年理数全国卷B题21

已知函数 .

（I）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性;

（Ⅱ）当 时，证明 .

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2014年理数大纲卷题22

函数

（Ⅰ）讨论 的单调性;

（Ⅱ）设 证明∶

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2014年理数全国卷A题21

设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为

（I）求 ;

（Ⅱ）证明∶ .

参考答案：2014年理数全国卷A题21

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2014年理数全国卷B题21

已知函数

（Ⅰ）讨论 的单调性;

（Ⅱ）设 ，当 时， ，求 的最大值;

（Ⅲ）已知 ，估计 的近似值

（精确到 0.001）.

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2015年理数全国卷A题21

已知函数

（Ⅰ）当 为何值时， 轴为曲线 的切线;

（Ⅱ）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点的个数.

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2015年理数全国卷B题21

设函数

（I）证明∶ 在 单调递减，在 单调递增;

（Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围.

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2016年理数全国卷A题21

已知函数 有两个零点.

（Ⅰ）求 的取值范围;

（Ⅱ）设 是 的两个零点，证明∶ .

参考答案：2016年理数全国卷A题21

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2016年理数全国卷B题21

（Ⅰ）讨论函数 的单调性，并证明当 时， ;

（Ⅱ）证明∶当 时，函数 有最小值. 设 的最小值为 ，求函数 的值域.

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2016年理数全国卷C题21

设函数 ，其中 ，记 的最大值为 A.

（I）求 ;

（Ⅱ）求 ;

（Ⅲ）证明 .

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2017年理数全国卷A题21

已知函数 .

（1）讨论 的单调性;

（2）若 有两个零点，求 的取值范围.

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2017年理数全国卷B题21

已知函数 ，且 .

（1）求 ;

（2）证明∶ 存在唯一的极大值点 ，且 .

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2017年理数全国卷C题21

已知函数 .

（1）若 ，求 的值;

（2）设 为整数，且对于任意正整数 ，，求 的最小值.

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2018年理数全国卷A题21

已知函数

（1）讨论 的单调性；

（2）若 存在两个极值点 ，证明∶

参考答案：2018年理数全国卷A题21

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2018年理数全国卷B题21

已知函数 .

（1）若 ，证明∶当 时， ；

（2）若 在 只有一个零点，求

参考答案：2018年理数全国卷B题21

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2018年理数全国卷C题21

已知函数 .

（1）若 ，证明∶当 时，；当 时，;

（2）若 是 的极大值点，求 .

参考答案：2018年理数全国卷C题21

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2019年理数全国卷A题20

已知函数 , 为 的导数，证明∶

（1） 在区间 存在唯一极大值点；

（2） 有且仅有 2 个零点.

参考答案：2019年理数全国卷A题20

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2019年理数全国卷B题20

已知函数

（1）讨论 的单调性，并证明 有且仅有两个零点;

（2）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.

参考答案：2019年理数全国卷B题20

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2019年理数全国卷C题20

已知函数 .

（1）讨论 的单调性;

（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为 ? 若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由.

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