推断统计学（一）——参数估计

0.0 描述统计学和推断统计学

        统计学是一门围绕数据展开的科学。从应用上看，可分为描述统计（descriptive statistics）和推断统计（inferential statistics）。

        描述统计是对数据整体特征进行描绘，包括集中趋势（平均数、众数、中位数）、离散趋势（标准差、极差、四分位差值）、变化趋势（同比、环比）、分布趋势（偏度、峰度）等非常耳熟能详的概念，并且描述统计也是各类统计工作（如统计年报、企业经营报告等）的主要内容。

        推断统计则是在数据描述的基础上作出更多信息的推断。

1.0 基本概念和原理说明

1.1 总体&参数 vs 样本&估计

        首先需要对总体（population）、参数（parameter）、样本（sample）和估计（estimator）概念进行说明。

        总体就是对某一现象或某一事物的所有可能情况的数据集合。但实际中由于时间、地点、预算、人力等客观条件的限制几乎无法获得数据的全集，只能经济适用地取得其中的一部分数据（及子集），这就是样本。而获取样本的过程即为抽样（sampling），这是一项严谨复杂的工作，这里就不展开说了。

        了解完样本和总体，还需要明确一点：通常的描述统计工作都是针对样本数据进行的，准确地来说是在描述样本，而不是总体，但是可以基于样本数据的描述对总体的数据特征进行估计，这就是参数估计（parameter estimation）。参数（parameter）其实是描述总体数据的指标的统称，如总体均值、总体方差等。由于总体数据无法获得，这些参数实际是未知的，此时就只能通过样本数据对总体参数进行推断。这一过程就是参数估计，推断得出的数值就是参数的估计或估计值，如样本均值、样本方差等。

1.2 抽样分布

        抽样分布（sample distribution）是指样本估计量的分布等（注意！不是样本数据的分布）。单次抽样能够得到一组样本，据此可计算相对应的样本统计量；假设进行无数次抽样，那么这些样本统计量就形成一个分布，即抽样分布。

1.3 中心极限定理

服从以均值为、方差为的正态分布，即：~；而表示样本统计量（sampling statistics）的离散程度，被称为样本误差（sampling error, SE）。

        （中心极限定理是推断统计的核心，参数估计和假设检验都是基于中心极限定理实现的）

        此外，作为样本量，若逐渐增大，则逐渐减小，即抽样分布的方差缩小，从图像上看表现为变“窄”。这是由于随着样本量增大，抽样将逐渐趋近于总体，样本均值将不断趋近于总体均值，因此方差会变小，分布图像会变窄。

2.0 参数估计

        参数估计（parameter estimation）就是使用抽样所得的样本统计量对总体的未知参数进行估计。从估计结果上看，可分为点估计和区间估计。

2.1 点估计

        点估计（point estimation）是最为常见的估计形式，就是直接以样本统计量作为总体参数的估计值，由于样本统计量仅是一个数值，因此称之为点估计。那么区间估计，顾名思义就是以一段数值区间作为总体参数的估计值。

2.2 区间估计

        区间估计（interval estimation）是以数值区间的形式作为参数估计。那么如何确定估计区间呢？

        根据中心极限定理，样本均值服从正态分布，其中为总体均值，为总体方差，为样本量。根据正态分布中取值概率的特征，样本均值应该分别有90%、95%、99%的概率落在以为中心的+/-1.645SE、+/-1.96SE、+/-2.58SE的范围内。

        具体看95%和+/-1.96SE的情况，实际是指与有95%的可能性相距不超过1.96SE，有可能是+1.96SE，也有可能是-1.96SE。利用上述性质，就可以反推得到也有95%的概率落在以为中心的+/-1.96SE的范围内，即：

        这一范围就是对于总体的均值参数的区间估计，因为只有95%的可能性（被称为“置信度”）包含总体均值，因此被称为置信区间。