带你认识红黑树
红黑树
- 一、什么是红黑树？
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- 1.1 AVL树
- 1.2 红黑树
- 二、红黑树的特点
- 三、红黑树的insert、delete
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- 3.1 insert
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- 3.1.1 父节点为空
- 3.1.2 父节点为Black节点
- 3.1.3 父节点为Red节点
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- 3.1.3.1 叔叔节点为Red节点
- 3.1.3.2 叔叔节点为Black节点
- 3.2 delete
- 3.2.1 删除节点有两个子节点
- 3.2.2 删除节点只有一个子节点
- 3.2.3 删除节点无子节点
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- 3.2.3.1 删除节点为红色节点
- 3.2.3.2 删除节点为黑色节点
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- 1. 兄弟节点为Red
- 2. 兄弟节点为黑色节点
一、什么是红黑树？
在谈及红黑树前，首先我们先了解一下什么AVL（平衡二叉树）树。
1.1 AVL树
AVL树，也叫平衡二叉树，具有以下特点：
- 本身就为一颗 二叉搜索树。
- 每个结点的左右子树的高度之差的绝对值最多为 1。
- 每个节点都是 AVL 树。
- 可以为空。
AVL树相比于二叉搜索树，具有更高的查询效率，因为在一些极端场景下，二叉搜索树(Binary Search Tree)，会蜕化为链表(如下图)，使得搜索的时间复杂度为 O(N)，AVL树时间复杂度严格为 O(log2N)。
因为具有以上特点，所以在进行插入、删除节点时，需通过多次旋转节点来满足上述特点，因此，AVL树在查找上效率较高，但是在插入、删除上，效率较低。
因此，一些大牛为满足效率上的提升，对AVL树进行“升级”，红黑树概念由此产生，具体如下：
1.2 红黑树
红黑树是一种特殊的AVL树，通过在插入、删除时多次旋转节点来保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能（O(log2N)）。但是红黑树又是一种非严格意义上的AVL树，它的左右子树高差有可能大于 1，但对之进行平衡的代价较低， 使得其性能要远远强于 AVL树。所以在多数计算机语言中，通用使用红黑树，来替代AVL树，进行高效查找、删除、插入。
二、红黑树的特点
红黑树是一种自平衡的AVL树，其特点如下：
- 可以为空树。
- 如果不为空树，其根节点必须为黑色节点。
- 每个节点的左子节点值都小于父节点，每个节点右子节点都大于父节点值。
- 任何相邻的节点都不能同时为红色节点。
- 每个叶子节点都具有黑色的空节点（NIL），如下图，叶子节点不存储数据，只为满足特点6。
- 每个节点，从该节点到所有可达叶子节点的所有路径，其包含的黑色节点数目都相同，如节点 0004到所有叶子节点都有两个黑色节点。
- 节点的插入，都为红色节点，通过旋转和着色来满足红黑树的其他特征。
三、红黑树的insert、delete
3.1 insert
红黑树的节点insert，初始颜色都为Red，通过旋转和着色来满足红黑树的其他特征。节点的insert又可以分为以下几种情况：
- 插入的节点，其父节点为空；
- 插入的节点，其父节点为Black节点；
- 插入的节点，其父节点为Red节点；
3.1 叔叔节点为Black节点；
3.2 叔叔节点为Red节点；
具体详情下面一一分析。
3.1.1 父节点为空
父节点为空，既当前Tree 为空，直接插入。
通过红黑树的特点可知，根节点为Black节点，所以需要重新着色。
3.1.2 父节点为Black节点
父节点为Black节点，插入节点为Red节点，由红黑树特点可知，直接插入当前节点即可满足其所有特点。
3.1.3 父节点为Red节点
当父节点为Red节点时，不满足红黑树特点：任何相邻的节点都不能同时为红色节点，所以需要旋转、着色。
3.1.3.1 叔叔节点为Red节点
如上图，当插入节点父节点、叔叔节点均为Red节点时，为满足特点：任何相邻的节点都不能同时为红色节点；每个节点，从该节点到所有可达叶子节点的所有路径，其包含的黑色节点数目都相同。所以，需要重新进行着色，将父节点、叔叔节点颜色修改为Black，爷爷节点修改为Red节点。
这就完了么？？？NO！NO！NO！
试想一下，如果祖父节点恰好为Red节点，是否相邻节点又都为红色节点，如下图所示：
插入一个新节点 800，满足父节点、叔叔节点均为红色，则先将父节点、叔叔节点颜色修改为Black，爷爷节点修改为Red节点。如下：
这时，节点 0200 与 节点 0300 都为Red节点，且 0300 的兄弟节点一定为Black节点（任何相邻的两个节点不能同时为Red节点），所以将 0300 节点当做新插入的节点，情况就变为了 3.1.3.2 叔叔节点为Black节点，具体操作步骤下面详细分析。
3.1.3.2 叔叔节点为Black节点
当父节点为Red节点、叔叔节点为Black节点，如下图：
插入节点 0500，其父节点为Red节点，叔叔节点为NIL黑色节点，需根据具体情况来进行旋转、着色，如下：
condition 1（左左）：父节点为左子节点，插入节点为左子节点。
condition 2（左右）：父节点为左子节点，插入节点为右子节点。
condition 3（右右）：父节点为右子节点，插入节点为右子节点。
condition 4（右左）：父节点为右子节点，插入节点为左子节点。
3.2 delete
红黑树节点的删除与二叉搜索树(AVL树)一样，也分为三种情况，如下：
- 删除节点无子节点；
- 删除节点只有一个子节点；
- 删除节点有两个子节点；
红黑树删除，采用以繁化简进行处理，**对于非叶子节点的删除，最终都转化为对叶子节点的删除。**通过这个思想，下面对以上情况进行详细分析。
3.2.1 删除节点有两个子节点
在了解中间节点的删除前，我们先了解两个概念：
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前驱节点： 在中序遍历中，一个节点的前驱结点，先找到该节点的左孩子节点，再找左孩子节点的最后一个右孩子节点。向左走一步，然后向右走到头。最后一个右孩子节点即为前驱节点。
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后继节点： 在中序遍历中，一个节点的后继结点，先找到该节点的右孩子节点，再找右孩子节点的最后一个左孩子节点。向右走一步，然后向左走到头。最后一个左孩子节点即为后继结点。
采用以繁化简进行处理，对于非叶子节点的删除，最终都转化为对叶子节点的删除。
- 当删除节点为中间节点是，寻找当前节点的前驱节点，交换前驱节点与删除节点的值，然后直接删除前驱节点；
- 如果不存在前驱节点，则寻找当前接的后继节点，交换后继节点与删除节点的值，直接删除后继节点；
通过上述操作，将复杂的中间节点删除，转换为叶子节点删除，叶子节点的删除，参照步骤 3.2.2 删除节点只有一个子节点、3.2.3 删除节点无子节点。
3.2.2 删除节点只有一个子节点
将删除节点的父节点指向当前节点的子节点，直接删除，并交换删除节点、子节点颜色，保持颜色平衡，如下：
- 将删除节点的父节点指向当前节点的子节点
- 直接删除当前节点
- 交换删除节点、子节点颜色
3.2.3 删除节点无子节点
3.2.3.1 删除节点为红色节点
当前模式最为简单，红色叶子节点删除，不影响红黑树平衡，所以可以直接删除即可。
- 删除红色节点 250：直接删除
3.2.3.2 删除节点为黑色节点
当删除节点为黑色节点时，由于影响到红黑树的特点（每个节点，从该节点到所有可达叶子节点的所有路径，其包含的黑色节点数目都相同，这种特定称为黑高相同），所以需要进行旋转、着色来修复红黑树。
可分为以下几种情况。
1. 兄弟节点为Red
- 1 父节点为红色节点：不存在当前情况，无需考虑。
- 2 父节点为黑色节点；
- 2.1 兄弟节点无子节点：不存在当前情况，需保持黑高相同
- 2.2 兄弟节点存在一个子节点：不存在当前情况，需保持黑高相同
- 2.3 兄弟节点存在两个子节点：分析可知，两个子节点均为红色节点
最终，当兄弟节点为Red节点时，父节点一定为Black节点，且兄弟节点一定存在两个子节点，两个子节点均为红色，如下：
(图1)
删除步骤如下：
- 直接删除节点；
- 将兄弟节点设置为Black；
- 如果删除节点为左子节点
- 则将兄弟节点左子节点设置为红色；
- 对父节点进行左旋；
- 如果兄弟节点的左子节点(BLeft)存在子节点；
- 存在左子节点：对BLeft进行右旋，然后对BLeft的父节点进行左旋，设置BRight左子节点为Black。
- 存在右子节点：对BLeft的父节点进行左旋，交换BLeft与BLeft右子节点的颜色。
- 存在左右子节点：对BLeft的父节点进行左旋，交换BLeft与BLeft右子节点的颜色。
- 如果删除节点为右子节点
- 则将兄弟节点右子节点设置为红色；
- 对父节点进行右旋；
- 如果兄弟节点的右子节点(BRight)存在子节点；
- 存在左子节点：对BRight的父节点进行右旋，交换BRight与BRight左子节点的颜色。
- 存在右子节点：对BRight进行左旋，然后对BRight的父节点进行右旋，设置BRight右子节点为Black。
- 存在左右子节点：对BRight的父节点进行右旋，交换BRight与BRight左子节点的颜色。
删除图1中的Black节点 0050，通过以上步骤，最终红黑树如图二所示。
(图二)
2. 兄弟节点为黑色节点
注意：分析可知，当前节点为Black节点，兄弟节点也为Black节点，则如果兄弟节点存在子节点，子节点颜色一定为Red节点。
- 1 父节点为红色节点：
- 1.1 兄弟节点无子节点：直接交换父节点、兄弟节点颜色；
- 1.2 兄弟节点存在一个子节点；
- 1.2.1 存在左子节点：① 删除节点为左子节点：将兄弟节点右旋，然后将父节点左旋，最后把兄弟节点左子节点颜色修改为Black，并修改兄弟节点颜色为Red；② 删除节点为右子节点：将父节点右旋；
- 1.2.2 存在右子节点：① 删除节点为左子节点：将父节点左旋；② 删除节点为右子节点：将兄弟节点左旋，然后将父节点右旋，最后把兄弟节点右子节点颜色修改为Black，并修改兄弟节点颜色为Red；
- 1.3 兄弟节点存在两个子节点；
- 1.3.1 删除节点为左子节点：将父节点左旋，然后将兄弟节点右子节点修改为Black；
- 1.3.2 删除节点为右子节点：将父节点右旋，右旋后，会导致两个节点连续为红色，把之前兄弟节点的右子节点当做插入的节点，走新增节点3.1.3父节点为Red节点、3.1.3.1叔叔节点为Red节点；
- 2 父节点为黑色节点；
- 2.1 兄弟节点无子节点；
- 2.1.1 不存在祖父节点：直接将兄弟节点颜色修改为红色；
- 2.1.2 存在祖父节点：直接将兄弟节点颜色修改为红色；以父节点作为条件判断，将父节点赋值个当前节点，递归处理，判断其父节点、兄弟节点颜色。
- 2.2 兄弟节点存在一个子节点；
- 2.2.1 存在左子节点：① 删除节点为左子节点：将兄弟节点右旋，然后将父节点左旋，最后把兄弟节点左子节点颜色修改为Black；② 删除节点为右子节点：将父节点右旋，然后把兄弟节点左子节点颜色修改为Black；
- 2.2.2 存在右子节点：① 删除节点为左子节点：将父节点左旋，然后把兄弟节点右子节点颜色修改为Black；② 删除节点为右子节点：将兄弟节点左旋，然后将父节点右旋，最后把兄弟节点右子节点颜色修改为Black；
- 2.3 兄弟节点存在两个子节点；
- 2.3.1 删除节点为左子节点：将父节点左旋，然后将兄弟节点右子节点修改为Black；
- 2.3.2 删除节点为右子节点：将父节点右旋，然后将兄弟节点左子节点修改为Black；
- 2.1 兄弟节点无子节点；