关于一道非常有意思的数学题

     

      这是一道出现在九年级下册第一章三角函数中的数学题，也是其中非常独特新颖的一种类型，到底如何解决？

      首先，初步读题并分析，这是一道没有给你画图的未知三角形，意味着你需要通过自己手动画图，再根据这个图中的内容找出思路进行解决。

      于是我们画图如下：

      OK，现在已经有一个非常清晰的题目图形了，剩下的便是我们用照常的三角函数解题思路进行解题：既然要用到三角函数，肯定需要一个直角，我们就过点A在B C上做高，垂足为点p

      随后的过程也就越发简单了，当做出这条高之后，我们会神奇的发现，A B边正好在三角形A B P中，而三角形A B P正好是等腰直角三角形也就是45度角的直角三角形，那么我们已知A B等于10倍根号二，根据45度角的余铉，便可以得到我们要求面积的这个三角形的高和一半的底。至于另一半怎么办呢？其实也已经垂手可求了：因为这条边也刚好在三角形A P C中，而三角形APC中的一条斜边和一条直角边已经被明确了（斜边已知，直角边刚好是我们通过45度直角三角形所求的高），在之后通过勾股定理，即可求出P C的值，将其与BP相加再乘以A P×二分之一（其中所有的未知因素都已经变成已知）题目便成功进行解答。

      然而这就完了吗？远远没有呢！问题就出在题目给出的条件里，通过对原条件进行分析可以得到，在题目中的这个三角形ABC中，已知一个角是45度，它的一个临边AB和一个对边AC分别确定。问题是什么呢？问题是题目给出的这三个条件并不能确定一个唯一的三角形。因为，如果我们回顾对三角形全等的探索就应该能够回想起来，已知条件就是A S S证明全等，A S S能否证明全等呢？很遗憾，并不能。既然无法确定，这就意味着我们可以做出第二幅图（ASS的无法确定还与别的无法确定有一些区别，只是将唯一确定变成了两种可能确定的情况），如下。

      思路已经有了，图已经画出来了，接下来一切就简单了。我们只需将B C延长，在从A点做B C的垂线交B C于点P。如此又构成两个新的直角三角形（一个是含有10倍根号二条件的45度角等腰直角三角形，一个是还有五倍根号五的未知直角三角形）从而通过等腰三角形的余弦求出A P和B P的长。其中A P正是我们要求得三角形的高，随后再通过勾股定理用A C和已经求出的A B值求出PC，最后将B P减去PC得到B C，得到三角形的底，最终利用三角形求面积公式运算即可）

        除此之外，还有一个更为拓展性的方案，还记得我们之前探索的任意三角形的三角函数吗？

        没错，我们这个题目中的三角形正式位置的三角形，任意的三角形，符合这个公式啊！

      此时对已知三角形进行一个角的区分，规定，A B等于c，B C等于a，A C等于b，根据三角函数列出等式。

      带入以只：

      就这样，通过一个简单的方程，我们可以直接求出B C的值，免去了许多繁杂的过程。

      当然，在这道题中利用普遍三角形的三角函数依旧比较复杂，因为求出B C的值之后我们还需要列出方程去求出三角形的高，但这不是为我们提供了一个崭新的解题思路，能够直接跳过许多不够本质的步骤，通过一个等式，直击重点得到结果。