数学建模：主成分分析法

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主成分分析法

算法流程

1. 构建原始数据矩阵 $X$ ，其中矩阵的形状为 $x\ast n$ ，有 $m$ 个对象，$n$ 个评价指标。
2. 然后进行矩阵的归一化处理。
3. 首先计算矩阵的指标之间的相关系数矩阵 $R$。使用matlab 的 corr 即可得到。
4. 计算相关系数矩阵 $R$ 的****特征值 $D$ 和特征向量 $V$** ，并且特征值从大到小排序，由特征向量组成 $n$ 个新的指标向量。
   1. $y_1,y_2,y_3$ 为新的主成分。

1. 选择 $p$ 个主成分，计算综合评价值：

   1. 计算特征值 ${\lambda }_i，i\in (1,2,...n)$ 的信息贡献率与累计贡献率：

      $${\alpha }_i=\frac{{\sum }_{k=1}^n{\lambda }_k}{{\sum }_{k=1}^m{\lambda }_k}$$

      $$b_j=\frac{{\lambda }_j}{{\sum }_{k=1}^m{\lambda }_k}(j=1,2,\cdots ,m)$$

   2. 找到累计贡献达到85%的位置，选择前 $p$ 个指标变量 $y_1{y}_2...y_p$作为新的主成分，代替原来的$n$ 个指标，从而对 $p$ 个主成分进行综合分析。

      $$Z=\sum _{j=1}^p{b}_j{y}_j$$

   ---

   代码实现

   %% A_data 是一个 m*n列的矩阵，包含 n个指标
   
   %% 
   corr_A = corrcoef(A_data);
   [a,b,c] = pcacov(corr_A);
   
   %% 最后根据c的前 85% 来得到降维后的指标个数
   

   自实现：

   function [Score,Vec,p]=mfunc_PCA(data)
       % 进行主成分分析
       % paramts:
       %   data: 传递一个原始数据矩阵，需要首先进行数据的标准化mapminmax。Shape: (m*n)，m为对象个数，n为指标个数
       % returns:
       %   Score: 综合评价得分
       %   Vec: (n,3)的矩阵，第一列：特征值；第二列：贡献率，第三列：累计贡献率
   		%   p：指标降维后的个数
   
       % 计算指标的相关系数矩阵
       R=corr(data);
       %计算特征向量和特征值
       [V,D] = eig(R);  %V特征向量，D特征值对角线矩阵
       lam=diag(D);%取出对角线元素
       %对特征值从大到小排列
       [lam_sort,index]=sort(lam,'descend');
       V_sort=V(:,index);
       Vec = zeros(length(lam_sort),3);
       Vec(:,1) = lam_sort;
   
       contribution=lam_sort./sum(lam_sort); %贡献率
       Vec(:,2) = contribution;
       cContribution=cumsum(contribution); %累计贡献率
       Vec(:,3) = cContribution;
       p=find(cContribution>=0.85); 
       p=p(1); %找到累计贡献达到85%的位置第一个位置
       %
       M=data*V_sort;
       M=M(:,1:p);  %这就是得到的新的累计贡献率超过85%主成分
       %以下为用新的主成分评分
       M(:,find(sum(M)<0))=-M(:,find(sum(M)<0));
       %M(find(sum()))=-M(:,2);
       a=contribution(1:p);
       F=M.*a';
       s=sum(F');
       Score=100*s/max(s);
   end