高中奥数 2021-10-12

2021-10-12-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P064 例3）

如图,在三角形中,,,和分别是边和上点,使得,,是直线和的交点.证明:直线和直线垂直.

图1

证明

设,分别在和中用正弦定理,得

,,,而

$\begin{aligned} & A F \perp B C \Leftrightarrow A B^{2}-A C^{2}=B F^{2}-C F^{2} \\ \Leftrightarrow & \frac{\sin ^{2} 80^{\circ}-\sin ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 40^{\circ}}=\frac{\sin ^{2} 70^{\circ}-\sin ^{2} 40^{\circ}}{\sin ^{2} 70^{\circ}} \\ \Leftrightarrow & \frac{\frac{1}{2}\left(\cos 120^{\circ}-\cos 160^{\circ}\right)}{\sin ^{2} 40^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}\left(\cos 80^{\circ}-\cos 140^{\circ}\right)}{\sin ^{2} 70^{\circ}} \\ \Leftrightarrow & \frac{\sin 140^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin ^{2} 40^{\circ}}=\frac{\sin 110^{\circ} \sin 30^{\circ}}{\sin ^{2} 70^{\circ}} \\ \Leftrightarrow & \sin 40^{\circ} \sin 30^{\circ}=\sin 20^{\circ} \sin 70^{\circ} \\ \Leftrightarrow & \sin 40^{\circ}=2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} \end{aligned}$

这是显然的,故命题得证.

2021-10-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P064 例4）

如图,已知中,是三角形内点满足:.求证:三边长成等比数列.

图2

证明

如图,设.

先证.(*)

在中,由正弦定理:.

而,所以.

同理中有,

有,即,

而.

所以,即.

式得证,由式及已知条件知,.

从而有.

而,

所以,所以,即,,成等比数列.

2021-10-12-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P064 例5）

如图,设是锐角三角形,点、、分别在边、、上,线段、、经过的外心.已知以下六个比值

,,,,

中至少有两个是整数.求证:是等腰三角形.(2007第六届女子数学奥林匹克)

图3

证明

从六个比值中取出两个,共有两种类型:

(1)涉及同一边;

(2)涉及不同的边.

(1)如果同一边上的两个比值同时是整数,不妨设、为因它们互为倒数,又同是整数,所以,必须都取1,则.

由于是的外心,进而得是边的中垂线.

于是,.

(2)记,,.

因为是锐角三角形,所以,,,.

于是,.

同理,.

若上述六个比值中有两个同时是整数且涉及不同的边时,则存在整数、,使得

且,(1)

或且,(2)

其中,、、是、、的某种排列.

以下构造,使得它的三个内角分别为,,.

如图,过点、、分别作外接圆的切线,所围成的即满足要求.

根据正弦定理,知的三边与、、成正比在式(1)、(2)两种情况下,可知其三边之比分别为或.

对于式(1),由三角形两边之和大于第三边,可知必须;

对于式(2),要保证,即,由此,、中必有一个为.

无论哪种情况,都有是等腰三角形.

因此,也是等腰三角形.

高中奥数 2021-10-12

你可能感兴趣的:(高中奥数 2021-10-12)