2.3.8 周期变量

对于某些连续变量（比如周期变量），使用高斯分布建模并不合适。

为什么不合适？

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考虑观测数据集的均值问题，首先假设为弧度，很明显平均值强烈依赖坐标系（原点）的选取。为了找一个均值不变的度量，我们将观测当做单位圆上的点，这样就可以被描述成一个二维的单元向量（取值区间在-1到1），求平均也就是

根据该均值找到对应的角度，这个定义将会保证均值的位置与极坐标原点的选择无关（？？？）。另外通常位于单位圆的内部。在笛卡尔坐标系下，因此样本均值的笛卡尔坐标，带入上面的均值公式可得：

使用公式可以求出，也就是观测数据集的均值。

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现在我们考虑高斯分布对于周期变量的一个推广: von Mises 分布。
按照惯例我们考虑周期函数分布的周期为，满足下面三个条件：

我们可以很容易地得到一个类似高斯的分布,满足这三个性质：两个变量的高斯分布,均值为,协方差矩阵为,其中是个的单位矩阵。因此

概率为常数的轮廓线是圆形,如图所示。

该分布沿着一个固定半径的圆周的值。如果我们将这个分布的形式从笛卡尔坐标系转换到极坐标系，这样的分布具有周期性。

替换到高斯分布的公式里面，考察指数项（只有指数项与

相关）：

定义

，我们得到在单位圆

上的概率分布

的表达式：

这被称为von Mises分布，或者环形正态分布( circular normal )。其中

对应分布的均值，m被称为concentration参数，类似于高斯分布的精度，归一化系数

是零阶修正的第一类 Bessel 函数（？？？）

对于大的m值，分布逼近高斯分布。

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现在考虑von Mises 分布中参数和的最大似然估计，对数似然函数：

1. 求
   令关于的导数为0：
   
   使用三角恒等式
   
   我们有
   
   这跟我们之前在二维笛卡尔空间的观测下求取的均值相同

2. 求
   这里没看懂，直接贴图