matlab使用教程(29)—微分方程实例

        此示例说明如何使用 MATLAB® 构造几种不同类型的微分方程并求解。MATLAB 提供了多种数值算法来求解各种微分方程：

1.初始值问题

        vanderpoldemo 是用于定义 van der Pol 方程的函数

type vanderpoldemo

function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)

%VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation for ODEDEMO.

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

        该方程写作包含两个一阶常微分方程 (ODE) 的方程组。将针对参数 μ 的不同值计算这些方程。为了实现更快的积分，您应该根据 μ 的值选择合适的求解器。

tspan = [0 20];
y0 = [2; 0];
Mu = 1;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode45(ode, tspan, y0);
% Plot solution
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('solution y')
title('van der Pol Equation, \mu = 1')

        对于较大的 μ，问题将变为刚性。此标签表示拒绝使用普通方法计算的问题。这种情况下，要实现快速积分，需要使用特殊的数值方法。 ode15s 、 ode23s 、 ode23t 和 ode23tb 函数可有效地求解刚性问题。当 μ = 1000 时，van der Pol 方程的求解使用 ode15s，初始条件相同。您需要将时间范围大幅度延长到[0, 3000 ]才能看到解的周期性变化。

tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);
plot(t,y(:,1))
title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('solution y')

2.边界值问题

        bvp4c 和 bvp5c 可以求解常微分方程的边界值问题。示例函数 twoode 将一个微分方程写作包含两个一阶 ODE 的方程组。此微分方程为

type twoode

function dydx = twoode(x,y)

%TWOODE Evaluate the differential equations for TWOBVP.

%

% See also TWOBC, TWOBVP.

% Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

        函数 twobc 求解该问题的边界条件为： y( 0)= 0 和 y( 4)= − 2 。

type twobc

function res = twobc(ya,yb)

%TWOBC Evaluate the residual in the boundary conditions for TWOBVP.

%

% See also TWOODE, TWOBVP.

% Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

        在调用 bvp4c 之前，您必须为要在网格中表示的解提供一个猜想值。然后，求解器就像对解进行平滑处理一样修改网格。

        bvpinit 函数以您可以传递给求解器 bvp4c 的形式设定初始猜想值。对于 [0 1 2 3 4] 的网格以及y(x)  = 1 和 y′ ( x)  = 0 的常量猜想值，对 bvpinit 的调用为：

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

        利用这个初始猜想值，您可以使用 bvp4c 对该问题求解。使用 deval 计算 bvp4c 在某些点返回的解，然后绘制结果值。

sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);
xint = linspace(0, 4, 50);
yint = deval(sol, xint);
plot(xint, yint(1,:));
xlabel('x')
ylabel('solution y')
hold on

        此特定的边界值问题实际上有两种解。通过将初始猜想值更改为 y x = − 1 和 y′ x = 0，可以求出另一个解。

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);
xint = linspace(0,4,50);
yint = deval(sol,xint);
plot(xint,yint(1,:));
legend('Solution 1','Solution 2')
hold off

3.时滞微分方程

        dde23、 ddesd 和 ddensd 可以求解具有各种时滞的时滞微分方程。示例 ddex1 、 ddex2 、 ddex3、ddex4 和 ddex5 构成了这些求解器的迷你使用教程。ddex1 示例说明如何求解微分方程组

        您可以使用匿名函数表示这些方程

ddex1fun = @(t,y,Z) [Z(1,1); Z(1,1)+Z(2,2); y(2)];

        问题的历史解（t ≤ 0 时）固定不变：

        您可以将历史解表示为由 1 组成的向量。

ddex1hist = ones(3,1);

        采用二元素向量表示方程组中的时滞。

lags = [1 0.2];

        将函数、时滞、历史解和积分区间 0, 5 作为输入传递给求解器。求解器在整个积分区间生成适合绘图的连续解。

sol = dde23(ddex1fun, lags, ddex1hist, [0 5]);
plot(sol.x,sol.y);
title({'An example of Wille and Baker', 'DDE with Constant Delays'});
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

4.偏微分方程

        pdepe 使用一个空间变量和时间对偏微分方程求解。示例 pdex1 、 pdex2 、 pdex3 、 pdex4 和 pdex5 构成了 pdepe 的迷你使用教程。此示例问题使用函数 pdex1pde 、 pdex1ic 和 pdex1bc。

        pdex1pde 定义微分方程

type pdex1pde

function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)

%PDEX1PDE Evaluate the differential equations components for the PDEX1 problem.

%

% See also PDEPE, PDEX1.

% Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

c = pi^2;

f = DuDx;

s = 0;

        pdex1ic 设置初始条件

u ( x , 0) = sin πx .

type pdex1ic

function u0 = pdex1ic(x)

%PDEX1IC Evaluate the initial conditions for the problem coded in PDEX1.

%

% See also PDEPE, PDEX1.

% Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

u0 = sin(pi*x);

        pdex1bc 设置边界条件

type pdex1bc

function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)

%PDEX1BC Evaluate the boundary conditions for the problem coded in PDEX1.

%

% See also PDEPE, PDEX1.

% Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

pl = ul;

ql = 0;

pr = pi * exp(-t);

qr = 1;

        pdepe 需要提供空间离散 x 和时间向量 t（您要获取解快照的时间点）。使用包含 20 个节点的网格求解此问题，并请求五个 t 值的解。提取解的第一个分量并绘图。

x = linspace(0,1,20);
t = [0 0.5 1 1.5 2];
sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);
u1 = sol(:,:,1);
surf(x,t,u1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');