高等数学一：函数与极限二：收敛数列的有界性的证明

证明收敛数列的有界性，只需要证明该数列的任何一项都落在一个固定的范围。

数列X1,X2,X3一直到Xn都落在一个固定的范围。

可以用数学语言表示为

|Xn|

已经知道该数列收敛，

则有|Xn-a|<ε，

则有-ε

则有-ε+a

又有若数列有界的数学语言为

|Xn|

则有-M

则该范围存在，

为{-ε+a,ε+a}。

 

同时需要注意，数列有界，和数列收敛，发散之间的关系。

数列如果无界，则数列一定发散。

数列如果发散，数列不一定无界。比如(-1)^(n+1)。

数列如果有界，数列不一定收敛。比如(-1)^(n+1)。

数列如果收敛，则数列一定有界，上面就是证明。

数列无界，则数列不可能无限接近一个数值。则不可能收敛，则一定发散。因为当数列无限接近一个数值的时候，就存在了极限。同时这个极限周围，存在一个固定的范围，让数列项落在此处，落在该极限值的周围，无限的靠近。