【线性代数】第四章：特征值与特征变量

4.1 特征值与特征向量的概念与计算

1. 特征值与特征向量：设A是n阶方阵，若存在数$\lambda$和非零向量$x$使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$为方阵A的特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。注意特征向量首先是非零向量，对于任意$k\ne 0，kx$也是A对应于$\lambda$的特征向量，因此方阵A对于$\lambda$的特征向量有无限多个；若$x_1,x_2$是A的对应于$\lambda$的特征向量且$x_1+x_2\ne 0$，则$x_1+x_2$也是A的对应于$\lambda$的特征向量。

2. 计算方阵A的特征值与特征向量：

   1. 计算A的特征多项式$|A-\lambda E|$
   2. 令$|A-\lambda E|=0$求出A的所有不同的特征值
   3. 对于每个不同的特征值，求出齐次线性方程组$(A-\lambda E)x=0$的所有非零解即得到A的对应于$\lambda$的全部特征向量。

   注意：若$\lambda$是A的k重特征值，则齐次线性方程组$(A-\lambda E)x=0$的基础解系中至多含k个解向量。

3. 特征向量与特征值的几何意义：矩阵乘以向量是对这个向量进行了变换，从一个坐标系变换到另一个坐标系，在变换过程中会发生旋转和缩放两种变化，若只发生了缩放而没有旋转说明这个向量就是这个矩阵的特征向量；特征值就是在该坐标轴上的投影或者贡献。特征值越大，表示这个坐标轴对原向量的表达越重要，原向量在这个坐标轴上的投影越大。一个矩阵的所有特征向量组成该矩阵的一组基，也就是新坐标系中的轴。

4.2 特征值与特征向量的性质

1. 一些性质：
   1. 设n阶方阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的n个特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$（重根按重数计算），则**${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn};{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|$**
   2. 设$\lambda$为方阵A的特征值，则
      1. 对于任意数$\lambda$，$\lambda l是lA的特征值$
      2. 对于任意自然数k，有${\lambda }^k是A^k的特征值$
   3. 设$\lambda$为方阵A的特征值，若A可逆，则$\lambda \ne 0且\frac{1}{\lambda }$是$A^{-1}$的特征值
   4. 对应于不同特征值的特征向量线性无关

4.3 相似矩阵与方阵的对角化

1. 相似矩阵：设A和B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似矩阵，又称A和B相似，记为$A\sim B$。

2. 相似矩阵的必要条件：若$A\sim B$，则$|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$，即相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。

3. 方阵对角化：给定方阵A，如果A相似于由特征值排列主对角线，其余位置为0的方阵，则称A能对角化。

4. 方阵对角化的充要条件：n阶方阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

   

   推论：n阶方阵A，若A有n个不同的特征值，则A能对角化。