【线性代数】第四章:特征值与特征变量

【线性代数】第四章:特征值与特征变量

    • 4.1 特征值与特征向量的概念与计算
    • 4.2 特征值与特征向量的性质
    • 4.3 相似矩阵与方阵的对角化

4.1 特征值与特征向量的概念与计算

  1. 特征值与特征向量:设A是n阶方阵,若存在数 λ \lambda λ和非零向量 x x x使得 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx,则称 λ \lambda λ为方阵A的特征值, x x x是对应于 λ \lambda λ的特征向量。注意特征向量首先是非零向量,对于任意 k ≠ 0 , k x k\neq 0,kx k=0kx也是A对应于 λ \lambda λ的特征向量,因此方阵A对于 λ \lambda λ的特征向量有无限多个;若 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是A的对应于 λ \lambda λ的特征向量且 x 1 + x 2 ≠ 0 x_1+x_2\neq 0 x1+x2=0,则 x 1 + x 2 x_1+x_2 x1+x2也是A的对应于 λ \lambda λ的特征向量。

  2. 计算方阵A的特征值与特征向量

    1. 计算A的特征多项式 ∣ A − λ E ∣ |A-\lambda E| AλE
    2. ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-\lambda E|=0 AλE=0求出A的所有不同的特征值
    3. 对于每个不同的特征值,求出齐次线性方程组 ( A − λ E ) x = 0 (A-\lambda E)x=0 (AλE)x=0的所有非零解即得到A的对应于 λ \lambda λ的全部特征向量。

    意:若 λ \lambda λ是A的k重特征值,则齐次线性方程组 ( A − λ E ) x = 0 (A-\lambda E)x=0 (AλE)x=0的基础解系中至多含k个解向量。

  3. 特征向量与特征值的几何意义:矩阵乘以向量是对这个向量进行了变换,从一个坐标系变换到另一个坐标系,在变换过程中会发生旋转和缩放两种变化,若只发生了缩放而没有旋转说明这个向量就是这个矩阵的特征向量特征值就是在该坐标轴上的投影或者贡献。特征值越大,表示这个坐标轴对原向量的表达越重要,原向量在这个坐标轴上的投影越大。一个矩阵的所有特征向量组成该矩阵的一组基,也就是新坐标系中的轴。

4.2 特征值与特征向量的性质

  1. 一些性质:
    1. 设n阶方阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n\times n} A=(aij)n×n的n个特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn(重根按重数计算),则** λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ; λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn};\qquad\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A| λ1+λ2++λn=a11+a22++ann;λ1λ2λn=A**
    2. λ \lambda λ为方阵A的特征值,则
      1. 对于任意数 λ \lambda λ λ l 是 l A 的特征值 \lambda l是lA的特征值 λllA的特征值
      2. 对于任意自然数k,有 λ k 是 A k 的特征值 \lambda^k是A^k的特征值 λkAk的特征值
    3. λ \lambda λ为方阵A的特征值,若A可逆,则 λ ≠ 0 且 1 λ \lambda\neq0且\frac{1}{\lambda} λ=0λ1 A − 1 A^{-1} A1的特征值
    4. 对应于不同特征值的特征向量线性无关

4.3 相似矩阵与方阵的对角化

  1. 相似矩阵:设A和B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则称B是A的相似矩阵,又称A和B相似,记为 A ∼ B A\sim B AB

  2. 相似矩阵的必要条件:若 A ∼ B A\sim B AB,则 ∣ A − λ E ∣ = ∣ B − λ E ∣ |A-\lambda E|=|B-\lambda E| AλE=BλE,即相似矩阵有相同的特征多项式,进而有相同的特征值。

  3. 方阵对角化:给定方阵A,如果A相似于由特征值排列主对角线,其余位置为0的方阵,则称A能对角化。

  4. 方阵对角化的充要条件:n阶方阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

    【线性代数】第四章:特征值与特征变量_第1张图片

    推论:n阶方阵A,若A有n个不同的特征值,则A能对角化

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